Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Frederico tem uma coleção de bolinhas de gude.
Na última contagem que fez, Frederico verificou que a quantidade de bolinhas que ele tinha era um número de quatro algarismos e múltiplo de [tex]99[/tex]. Ele anotou essa quantidade em um papel, mas seu irmão Joãozinho apagou dois algarismos do número anotado e trocou-os por duas letras. Com isso ficou escrito [tex]3YX2[/tex].
Você é capaz de descobrir quantas são as bolinhas de Frederico?
Extraído de Uma Grosa de Problemas de Matemática – III Bienal da SBM, 2006.
(Aqui, a notação [tex]3YX2[/tex] não indica um produto e sim a representação de um número com quatro algarismos no sistema decimal.)
Solução
Observe que se [tex] 3YX2[/tex] é múltiplo de [tex]99[/tex], então é também múltiplo de [tex]9[/tex] e de [tex]11[/tex]. Logo, a soma de seus algarismos deve ser múltiplo de [tex]9[/tex], de modo que [tex]X+Y=4[/tex] ou [tex]X+Y=13[/tex] (convença-se por que somente essas duas alternativas são possíveis).
As opções para o par [tex](X,Y)[/tex] são, então, as que seguem:
[tex]\;(0,4),\, (1,3), \, (2,2), \, (3,1), \, (4,0), \, (4,9), \, (5,8), \, (6,7), \, (7,6), \, (8,5)[/tex] e [tex](9,4)[/tex].
Dessas, a única que tornará o número múltiplo de [tex]11[/tex] (e portanto de [tex]99[/tex] também) será o par [tex](7,6)[/tex] e, assim, o número de bolinhas anotado por Frederico era [tex]3762[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Códigos Infinitos.
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Se você conhece o critério de divisibilidade do 11, a solução apresentada pode ser obtida de modo mais imediato. |