Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial [tex]Q_0[/tex], fixo, mais um valor que varia proporcionalmente à distância percorrida nessa corrida.
Sabe-se que, em uma corrida usual na qual são percorridos [tex]7[/tex] km, a quantia cobrada é de [tex]R\$\ 16,00[/tex], e que em outra corrida, de [tex]4[/tex] km, a quantia cobrada é de [tex]R\$\ 10,00[/tex].
Se, em um dia de trabalho, um taxista arrecadou [tex]R\$\ 80,00[/tex] em [tex]10[/tex] corridas, quantos quilômetros seu carro percorreu naquele dia?
Extraído de um simulado do Colégio Ari de Sá.
Solução
Como o custo da corrida é composto por um valor fixo mais outro valor proporcional à distância percorrida, temos que a função que modela o custo é da forma [tex]\boxed{C(x)=Q_0+D \cdot x}[/tex], onde [tex]Q_0[/tex] é o valor fixo, [tex]D[/tex] é o valor em reais do quilômetro e [tex]x[/tex] é a quilometragem da corrida.
Assim, substituindo os dados sobre as duas corridas específicas citadas, obtemos [tex]\boxed{7 \cdot D+Q_0=16}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{4 \cdot D+Q_0=10}\,.[/tex]
Fazendo a diferença entre essas duas igualdades, temos que:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r l}
7 \cdot D+\cancel{Q_0}=16&\\
4 \cdot D+\cancel{Q_0}=10&-\\
\hline
3\cdot D\qquad \quad =\;\;6,&
\end{array}[/tex]
donde concluímos que [tex]D=2[/tex] e, consequentemente, [tex]\boxed{14+Q_0=16}\,[/tex] e [tex]\,\boxed{8+Q_0=10}\,.[/tex] De qualquer uma dessas igualdades, obtemos que [tex]\,Q_0=2[/tex].
Dessa forma, a função [tex]C[/tex] que fornece o valor de uma corrida em função da quilometragem [tex]x[/tex] que o táxi percorre fica assim definida:
- [tex]C(x)=2+2 \cdot x\,.[/tex]
Agora, perceba que, em um determinado dia, em dez corridas, o taxista apurou com valores fixos um total de [tex]10\cdot 2=20[/tex] reais; como o taxista arrecadou [tex]R\$\ 80,00[/tex] por essas [tex]10[/tex] corridas, ele apurou [tex]80–20=60[/tex] reais com a quilometragem. O valor de cada quilômetro percorrido é [tex]R\$\ 2,00[/tex]; logo, o taxista percorreu um total de [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$60:2=30 \text{ km}$}\,[/tex] nesse dia.
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