Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
O volume de água em um tanque varia com o tempo de acordo com a seguinte equação:
[tex]\qquad \qquad V=10-|4-2t|-|2t-6|[/tex], com [tex]t\in\mathbb{R_{+}}[/tex].
Nela, [tex]V[/tex] é o volume medido em metros cúbicos após [tex]t[/tex] horas, contadas no intervalo de [tex]8[/tex] às [tex]13[/tex] horas de um dia.
Quais os horários (inicial e final) desse dia em que o volume [tex]V[/tex] permaneceu constante?
UERJ – Adaptado.
Solução
Estudando os módulos que aparecem na expressão dada no problema temos:
- [tex]|4-2t|=\begin{cases} 4-2t, \text{ se }\, t \leq 2 \\ -4+2t, \text{ se }\, t\gt2 \end{cases}\quad\\
[/tex], - [tex]|2t-6|=\begin{cases} 2t-6, \text{ se } \; t \geq 3 \\ -2t+6, \text{ se } \;t\lt3 \end{cases}\qquad[/tex].
Assim, podemos reescrever a equação que define o volume da seguinte maneira:
[tex]\qquad V=\begin{cases} 10-(4-2t)-(-2t+6), \text{ se } \; t \leq2 \\ 10-(-4+2t)-(-2t+6), \text{ se } \; 2\lt t \lt 3 \\10-(-4+2t)-(2t-6), \text{ se } \;t\geq3 \end{cases}\quad [/tex],
ou, ainda:
[tex]\qquad V=\begin{cases} 4t, \text{ se } \; t \leq2 \\ 8, \text{ se } \; 2\lt t \lt 3 \\-4t+20, \text{ se } \; t\geq3 \end{cases}\quad[/tex].
Note que o volume [tex]V[/tex] é constante (igual a [tex]8[/tex]) no intervalo [tex]2\lt t \lt 3 [/tex]. Como a contagem iniciou às [tex]8[/tex] horas, o volume [tex]V[/tex] permaneceu constante [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\text{ entre 10 e 11 horas}$}\,. [/tex]
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