Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Cayley Olympiad, 2013) O desenho mostra um espaço anelar, que é a região entre dois círculos com o mesmo centro. Doze semicírculos iguais tangenciam-se e são colocados dentro do anel. Os diâmetros dos semicírculos estão ao longo dos diâmetros do círculo externo.
Que fração do anel está sombreada?
Lembretes e notações
✐ Toda tangente a uma circunferência é perpendicular ao raio no ponto de tangência.
✐ A soma das medidas dos ângulos internos de qualquer triângulo é 180∘.
✐ Notações:
– Denotaremos o ângulo de vértice V e definido por dois pontos, digamos X e Y, por ∠XVY e sua medida por m∠XVY.
– Denotaremos o segmento definido por dois pontos, digamos X e Y, por ¯XY e o seu comprimento por XY.
Solução
Observe que os diâmetros dos doze semicírculos estão igualmente espaçados de 30∘, já que 360∘÷12=30∘.
Considere dois semicírculos adjacentes (veja a figura abaixo). Sejam A o centro do primeiro semicírculo, B o ponto de tangência do primeiro semicírculo com o diâmetro do segundo e O o centro do anel.
Observe que o ângulo ∠ABO é reto, já que, com relação ao primeiro semicírculo, ¯OB é uma tangente e ¯AB é um raio. Assim, m∠OAB=60∘, pois as medidas dos ângulos internos do triângulo OAB somam 180∘.
Sem perda de generalidade, consideremos AB=1. Desta forma, OA=2, pois quando temos o famoso triângulo de ângulos 30∘, 60∘ e 90∘, sua hipotenusa mede o dobro do cateto oposto ao ângulo de 30∘.
- Concluímos, então, que o raio externo do anel é 3 e o raio interno é 1. Então, a área do anel é dada por π⋅32–π⋅12=8π.
- Os semicírculos têm raio 1, então doze deles têm área total 12⋅12⋅π⋅12=6π.
- Assim, a área sombreada é 8π–6π=2π.
Finalmente, a fração do anel que está sombreada é \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{2 \pi}{8 \pi}=\dfrac{1}{4}$}\,.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.