Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Vestibular Unicamp, 2016 – Adaptado) Considere a função [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}[/tex] definida por [tex]f(x)=ax+b[/tex], com [tex]a, b\in \mathbb{R}[/tex].
Sabendo que [tex]f(4)=2[/tex], calcule [tex]f\big(f(3)+f(5)\big)[/tex].
Solução
Como [tex]f(4)=2[/tex] tem-se
[tex]\qquad a\cdot 4+b=2[/tex]
[tex]\qquad 4a+b=2.\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, observe que
[tex]\qquad f(3)=a\cdot 3+b=3a+b[/tex]
e
[tex]\qquad f(5)=a\cdot 5+b=5a+b[/tex];
assim, segue que:
[tex]\qquad f(3)+f(5)=(3a+b)+(5a+b)[/tex]
[tex]\qquad f(3)+f(5)=8a+2b .\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Então, aplicando a função [tex]f[/tex] em ambos os lados da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtém-se
[tex]\qquad f\big(f(3)+f(5)\big)=f(8a+2b).\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Multiplicando a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] por [tex]2[/tex] tem-se que
[tex]\qquad 8a+2b=4.\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Aplicando a função [tex]f[/tex] em ambos os lados da igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex], obtemos
[tex]\qquad f(8a+2b)=f(4).\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(v)}[/tex]
Como [tex]f(4)=2[/tex], segue de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] e de [tex]\textcolor{#800000}{(v)}[/tex] que:
[tex]\qquad f\big(f(3)+f(5)\big)=f(8a+2b)=f(4)=2[/tex].
Portanto, [tex]\,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ f\big(f(3)+f(5)\big)=2$} \, [/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.