Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(Fundamentos de Matemática Elementar, volume 1 – Adaptado) Considere os conjuntos [tex]A=\{a, b, c, d, e\}[/tex], [tex]B=\{a, b, c, d\}[/tex], [tex]C=\{c, d\}[/tex], [tex]D=\{a, c, d, e\}[/tex], [tex]E=\{b, c, d\}[/tex] e [tex]F=\{c\}[/tex]. Encontre o conjunto [tex]X[/tex] que satisfaz as seguintes condições:
- [tex](1)\; B\cup X=A[/tex];
- [tex](2)\; C\cup X=D[/tex];
- [tex](3)\; E\cap X=F[/tex].
Solução
Vamos analisar cada uma das três condições apresentadas no problema.
[tex](1)[/tex] Como [tex]B\cup X=A[/tex], ou seja, [tex]\{a,b,c,d\}\cup X=\{a,b,c,d,e\}[/tex], temos que [tex]e\in X[/tex];
[tex](2)[/tex] Como [tex]C\cup X=D[/tex], ou seja, [tex]\{c,d\}\cup X=\{a,c,d,e\}[/tex], temos que [tex]a, e\in X[/tex];
[tex](3)[/tex] Como [tex]E\cap X=F[/tex], ou seja, [tex]\{b,c,d\}\cap X=\{c\}[/tex] temos, que [tex]c\in X[/tex], mas [tex]b, d\not \in X[/tex].
Portanto, a partir das análises de [tex](1), (2)[/tex] e [tex](3)[/tex], obtemos que:
[tex]\qquad \qquad \{a,c,e\} \subset X.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Como por definição da união de dois conjuntos temos que [tex] X\subset B\cup X [/tex], segue ainda de [tex](1)[/tex] que [tex] X\subset A=\{a,b,c,d,e\} .[/tex] Mas na análise de [tex](3)[/tex] concluímos que [tex]b, d\not \in X[/tex], logo
[tex]\qquad \qquad X\subset \{a,c,e\}.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)} [/tex]
Dessa forma, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] temos que [tex] X=\{a,c,e\} [/tex].
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