Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Considere o segmento de reta, ilustrado na figura abaixo, dividido em [tex]3[/tex] partes, sendo duas partes com comprimentos iguais a [tex]a[/tex] e uma parte com comprimento igual a [tex]b,[/tex] com [tex]a \gt b[/tex].
Sabendo que [tex] \dfrac{2a+b}{a }= \dfrac{a}{b}=S[/tex], determine a constante [tex]S[/tex] definida pela proporção.
Solução
Sabemos que [tex] \dfrac{2a+b}{a}= \dfrac{a}{b}=S[/tex]; dessa forma, segue que:
[tex]\qquad \dfrac{2a+b}{a}= \dfrac{a}{b}[/tex]
[tex]\qquad 2ab+ b^{2} = a^{2}[/tex]
[tex]\qquad \dfrac{2ab}{b^{2}}+ \dfrac{b^{2}}{b^{2}}= \dfrac{a^{2}}{b^{2}}[/tex]
[tex] \qquad 2\, \dfrac{a}{b} + 1= \bigg( \dfrac{a}{b} \bigg)^{2} .[/tex]
Como [tex]S= \dfrac{a}{b}[/tex], temos que:
[tex]\qquad 2S+1=S^{2}[/tex]
[tex]\qquad S^{2} -2S-1=0 [/tex], sendo [tex]S[/tex] um número real positivo.
Vamos resolver a equação [tex]\boxed{S^{2} -2S-1=0}[/tex], uma equação do segundo grau em [tex] S[/tex]. Primeiro, vamos calcular o discriminante [tex] \Delta[/tex], obtendo:
[tex]\qquad \Delta = \left(-2 \right)^{2} -4 \times \left(-1 \right) = 4+4=8[/tex].
Com isso:
[tex]\qquad S=\dfrac{-\left(-2 \right) \pm \sqrt{8} }{2}=\dfrac{2 \pm \sqrt{2\times 4}}{2}\\
\qquad S= \dfrac{2 \pm \sqrt{2} \times \sqrt{4}}{2}=\dfrac{2 \pm 2 \times \sqrt{2}}{2}\\
\qquad S =\dfrac{2 \left( 1 \pm \sqrt{2} \right)}{2}= 1\pm \sqrt{2}.[/tex]
Como [tex]S \gt 0 [/tex] e [tex] \sqrt{2} \gt 1,[/tex] então [tex] \,\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$ S = 1 + \sqrt{2}$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.