Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(IME – Adaptado) Adriana, Irene e Robério, cada um com um dado, fizeram lançamentos simultâneos. Essa operação foi repetida cinquenta vezes. Os dados contêm três faces brancas e três faces pretas e, dessas [tex]50[/tex] vezes:
- em [tex]28[/tex] saiu uma face preta para Adriana;
- em [tex]25[/tex] saiu uma face branca para Irene;
- em [tex]27[/tex] saiu uma face branca para Robério;
- em [tex]8[/tex] saíram faces pretas para Adriana e Robério e branca para Irene;
- em [tex]7[/tex] saíram faces brancas para Irene e Robério e preta para Adriana;
- em [tex]4[/tex] saíram faces pretas para os três;
- em [tex]11[/tex] saíram faces pretas para Irene e Robério.
Em quantas vezes saiu face branca para os três jogadores, simultaneamente?
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Para entender bem a solução que apresentaremos, passe nesta Sala de Estudo do nosso Blog. |
Solução
Vamos construir um Diagrama de Venn relativo ao número de jogadas com faces pretas observando, inicialmente, que em [tex]\boxed{4}[/tex] jogadas saíram faces pretas para os três jogadores.
Vamos continuar preenchendo o diagrama. Observe, agora, que:
- Em [tex]8[/tex] jogadas saíram faces pretas para Adriana e Robério e branca para Irene, ou seja, em [tex]\boxed{8}[/tex] jogadas somente Adriana e Robério tiraram pretas.
- Em [tex]7[/tex] jogadas saíram faces brancas para Irene e Robério e preta para Adriana, ou seja, Adriana tirou faces pretas sozinha em [tex]\boxed{7}[/tex] jogadas.
- Em [tex]11[/tex] jogadas saíram faces pretas para Irene e Robério, ou seja, em [tex]\boxed{11-4=7}[/tex] jogadas apenas Irene e Robério tiraram faces pretas.
Com essas informações, melhoramos o nosso diagrama!
Por fim, note que:
- Em [tex]28[/tex] vezes saiu uma face preta para Adriana; assim, faltam ainda no diagrama [tex]28-19=\boxed{9}[/tex] faces pretas para Adriana.
- Em [tex]25[/tex] vezes saiu uma face branca para Irene, ou seja, em [tex]25[/tex] jogadas saiu face preta para Irene. Logo, faltam [tex]25-20=\boxed{5}[/tex] faces para preencher o diagrama da Irene.
- Em [tex]27[/tex] vezes saiu uma face branca para Robério, ou seja, em [tex]23[/tex] jogadas saiu face preta para Robério. Faltam, portanto, [tex]23-19=\boxed{4}[/tex] para preencher o diagrama do Robério.
Com essas informações finalizamos o preenchimento do nosso diagrama.
Somando todas as regiões do diagrama, temos: [tex]7+8+9+4+5+7+4=44[/tex] e isso nos garante que em [tex]44[/tex] jogadas pelo menos um dos três jogadores tirou face preta.
Assim, em [tex]50-44=\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$6$}\, [/tex] jogadas os três tiraram face branca simultaneamente.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.