Problema
(Indicado a partir do 1º ano do E. M.)
(Vestibular UFMS-2019 – Adaptado) Para a reforma de uma casa, foi escolhido um modelo de piso quadrado, como o mostrado na [tex]Figura\; 1[/tex]. No momento de assentar o piso, as peças foram unidas de acordo com a [tex]Figura\; 2[/tex].
Considere que o quadrado da [tex]Figura\; 1[/tex] possui [tex]20\; cm[/tex] de lado e que contém arcos de circunferência, com centros nos pontos [tex]E[/tex], [tex]C[/tex] e [tex]F[/tex], de tal forma que [tex]BF =FC[/tex] e [tex]DE = EC[/tex].
Calcule a área da parte azul da [tex]Figura\; 2[/tex].
Solução
Para calcular a área da parte azul da [tex]Figura \;2[/tex], vamos calcular a área da parte azul da [tex]Figura\;1[/tex] e depois multiplicá-la por [tex]4[/tex].
Como o quadrado tem lado [tex]20\;cm[/tex], sua área, [tex]A_{Q}[/tex], será de [tex]A_{Q}=20^2=400\ cm^2[/tex].
Vamos considerar as regiões [tex]R_1[/tex], [tex]R_2[/tex] e [tex]R_3[/tex] definidas a partir da [tex] Figura\; 1[/tex], conforme mostra a imagem a seguir.
Notemos, inicialmente, que as regiões [tex]R_2[/tex] e [tex]R_3[/tex] são iguais.
Por outro lado, vemos que a área de [tex]R_1[/tex], [tex]A_{R_1}[/tex], é igual à diferença entre [tex]A_{Q}[/tex] e a área do setor circular de centro [tex]C[/tex] e vértices [tex]B[/tex] e [tex]D[/tex]. Como esse setor circular tem área igual a [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] da área de um círculo de raio [tex]20\ cm[/tex], então:
[tex]\qquad A_{R_1}=400-\dfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 20^2\\
\qquad \boxed{A_{R_1}=(400-100\pi)\ cm^2}\,.[/tex]
Para encontrar a área da região [tex]R_2[/tex], na [tex]Figura\; 1[/tex], vamos considerar o triângulo retângulo de vértices [tex]G, F[/tex] e [tex]C[/tex] abaixo.
Notemos que a área [tex]A_v[/tex] da região vermelha acima da hipotenusa do triângulo retângulo [tex]GFC[/tex] é igual a [tex]\dfrac{1}{4}[/tex] da área do círculo de raio [tex]10\ cm[/tex] menos a área do triângulo retângulo [tex]GFC[/tex], ou seja, igual a:
[tex]\qquad A_v=\dfrac{1}{4}\cdot \pi \cdot 10^2- \dfrac{10\cdot 10}{2}=(25\pi-50)\; cm^2[/tex].
Assim, a área da região [tex]R_2[/tex] será a metade da área do círculo de raio [tex]10\ cm[/tex] menos o dobro de [tex]A_v[/tex], ou seja:
[tex]\qquad A_{R_2}=\dfrac{1}{2}\cdot \pi \cdot 10^2-2\cdot A_v\\
\qquad A_{R_2}=\dfrac{1}{2}\cdot \pi \cdot 10^2-2\cdot (25\pi-50)\\
\qquad \boxed{A_{R_2}=100\ cm^2}\,.[/tex]
Pelo até aqui exposto, a área da parte azul da [tex]Figura\ 1[/tex] fica assim definida:
[tex]\qquad A_{az_1}=A_{R_{1}}+A_{R_{2}}+A_{R_{3}}\\
\qquad A_{az_1} =(400-100\pi)+100+100\\
\qquad \boxed{A_{az_1}=(600-100\pi)\ cm^2}\,.[/tex]
Portanto, a área [tex]A_{az_2}[/tex] da parte azul da [tex]Figura\ 2[/tex] é dada por:
[tex]\qquad A_{az_2}=4\cdot A_{az_1}\\
\qquad A_{az_2}= 4\cdot (600-100\pi)\\
\qquad \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$A_{az_2}=(2400-400\pi) \ cm^2$}\,,[/tex]
ou seja, aproximadamente [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1\,143 \ cm^2$}\,.[/tex]
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