Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Extraído de: Matem@tica na Pr@tica – Desafio Geométrico; Claudio Carlos Dias, João Carlos Vieira Sampaio)
a) Suponha que em um poliedro convexo o número de vértices é igual ao número de faces. Expresse o número de faces (ou de vértices) em função do número de arestas.
b) Verifique se a afirmação:
- “Existe um poliedro convexo cujo número de faces é igual ao número de vértices e o número de arestas é ímpar”.
é falsa ou verdadeira e justifique a sua resposta.
Solução
Vamos denotar por [tex] F, \,A\, [/tex] e [tex]\,V\, [/tex] o número de faces, arestas e vértices de um poliedro convexo, respectivamente.
a) Como o poliedro é convexo, então vale a relação de Euler: [tex]\boxed{F-A+V=2}\,.[/tex]
Observe que, se [tex]V=F[/tex], da relação de Euler segue que:
[tex]\qquad F-A+F=2\\
\qquad 2F-A=2\\
\qquad 2F=A+2[/tex].
Assim, [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$V=F= \dfrac{A+2}{2}$}\,. [/tex]
b) A afirmação é falsa, observe o porquê.
- Se tal poliedro convexo existisse, teríamos que [tex]V=F~[/tex] e, então, concluiríamos do item (a) que [tex]F=\dfrac{A+2}{2}[/tex].
Como o número de arestas supostamente seria ímpar, então [tex]A+2[/tex] seria ímpar e consequentemente o número [tex]\dfrac{A+2}{2}[/tex] não seria um número inteiro.
Mas isso não pode acontecer, uma vez que [tex]F=\dfrac{A+2}{2}[/tex] e [tex]F[/tex] é o número de faces do poliedro em questão, ou seja, um número inteiro.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.