.Problema Olímpico – Nível C: Números com algarismos pares

Problema

Quantos números naturais cujos algarismos são todos pares existem entre 2007 e 7002?

Solução 1

Entre $2007$ e $2009$ : Apenas $1$ , o $2008$ .
Entre $2010$ e $2099$ : Há $4$ possibilidades de algarismo par para as dezenas ( $2,\;4,\;6,\;8$ ) e $5$ para as unidades ( $0,\;2,\;4,\;6,\;8$ ). Logo, há um total de $4\times5=20$ números.
Entre $2100$ e $2999$ : Há $4$ possibilidades de algarismo para as centenas ( $2,\;4,\;6,\;8$ ); $5$ para as dezenas ( $0,\;2,\;4,\;6,\;8$ ) e $5$ para as unidades ( $0,\;2,\;4,\;6,\;8$ ). Logo, há um total de $4\times5\times5=100$ números.
Entre $4000$ (inclusive) e $4009$ : Há $5$ possibilidades para as unidades.
Entre $4010$ e $4099$ : $4\times5=20$ números.
Entre $4100$ e $4999$ : $100$ números.
Algo análogo pode ser feito para os números começados pelo algarismo $6$ .

O total de números é, portanto, $1+5+5+3(20+100)=11+360=\fbox{371}$ .

Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Noemi Zeraick Monteiro.

Solução 2

Dos algarismos de

$0\,$ a

$\, 9$ , temos que

$5$ deles são pares:

$0,\;2,\;4,\;6,\;8$ .
Como o enunciado pede naturais entre

$2007\,$ e

$\, 7002$ , temos apenas números de quatro algarismos, sendo eles: unidade de milhar, centena, dezena e unidade.
Vejamos cada caso:

$\bullet$ unidade de milhar: Temos que não pode ser nem

$0$ e nem

$8$ , restando

$5-2=3$ possibilidades.

$\bullet$ centena: Não havendo restrições para algarismos repetidos, logo, temos

$5$ possibilidades.

$\bullet$ dezena e unidade: Analogamente, existem

$5$ opções para as dezenas e

$5$ opções para as unidades.
Assim, pelo princípio multiplicativo, estes números totalizam

$3\times 5\times 5\times 5=375$ ; todavia, ainda existem os números

$2000,2002,2004\,$ e

$\, 2006$ que estão inclusos neste total e precisam ser descontados:

$\qquad 375-4=371$ .
Concluímos, então, que existem $371$ números que satisfazem o enunciado.

Solução elaborada pela aluna do PIC-OBMEP Nayara Mendes Lacerda.

Material de apoio

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* Se você não se lembra do Princípio Multiplicativo, sugerimos que você assista a este vídeo, a este vídeo e a este .
Você pode também ler o texto “O princípio multiplicativo” na Sala de Pequenos Textos, na Nossa Biblioteca.
Bons estudos!