Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
(Olimpíada Cearense de Matemática 1981 – Ensino Fundamental – Adaptado) Seja [tex]\boxed{A=2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10}\,.[/tex]
[tex]a)[/tex] Encontre todos os fatores primos de [tex]A[/tex].
[tex]b)[/tex] Encontre a maior potência de [tex]10[/tex] que divide [tex]A[/tex].
Solução
[tex]a)[/tex] Para obter os fatores primos de [tex]A[/tex], vamos decompor [tex]4, 6, 8, 9[/tex] e [tex] 10[/tex], que são os fatores não primos que aparecem no produto:
[tex]\qquad A=2 \cdot 3 \cdot (2^2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2^3) \cdot (3^2) \cdot (2 \cdot 5)=2^8 \cdot 3^4 \cdot 5^2 \cdot 7\,.[/tex]
Logo, os fatores primos de [tex]A[/tex] são [tex]2,\, 3, \,5\, [/tex] e [tex]\, 7.[/tex]
[tex]b)[/tex] Como [tex]10=2\cdot 5[/tex], a maior potência de [tex]10[/tex] que divide [tex]A[/tex] dependerá do expoente do [tex]5[/tex], uma vez que existem menos fatores [tex]5[/tex] que fatores [tex]2[/tex] na decomposição de [tex]A[/tex]. Na decomposição do [tex]A[/tex] aparecem dois fatores [tex]5[/tex] e oito fatores [tex]2[/tex]; assim, concluímos que a maior potência de [tex]10[/tex] que divide [tex]A[/tex] é [tex]\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2^2 \cdot 5^2=100$}\,[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.