Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
(Olimpíada Nacional de Matemática Escolar 2006 – Segunda Fase – [tex]2[/tex] – Peru) A sequência infinita
- [tex]149162536\dots[/tex]
é formada escrevendo os quadrados de todos os inteiros positivos, um após o outro, em ordem crescente.
Qual é o dígito que ocupa a posição [tex]1000[/tex] dessa lista?
Solução
Vamos, primeiramente, escrever:
- – Os quadrados perfeitos com [tex]1[/tex] dígito: [tex]1^2=1,\, 2^2=4,\, 3^2=9[/tex];
– Os quadrados perfeitos com [tex]2[/tex] dígitos: [tex]4^2=16,\, 5^2=25,\, 6^2=36,\, 7^2=49,\, 8^2=64, \, 9^2=81[/tex];
– Os quadrados perfeitos com [tex]3[/tex] dígitos: [tex]10^2=100, \, 11^2=121,\, 12^2=144,\, \dots, \, 31^2=961[/tex];
– Os quadrados perfeitos com [tex]4[/tex] dígitos: [tex]32^2=1024,\, \dots, \, 99^2=9801.[/tex]
Observe que temos:
- [tex]3[/tex] quadrados perfeitos com [tex]1[/tex] dígito;
- [tex]6[/tex] quadrados perfeitos com [tex]2[/tex] dígitos;
- [tex]31-9=22[/tex] quadrados perfeitos com [tex]3[/tex] dígitos;
- [tex]99-31=68[/tex] quadrados perfeitos com [tex]4[/tex] dígitos;
assim, a quantidade de dígitos escritos até aqui é dada por [tex]3 \cdot 1+6 \cdot 2+22 \cdot 3+68 \cdot 4=353[/tex]. Isso significa que o dígito [tex]1[/tex] do número [tex]9801[/tex] está na posição [tex]353[/tex].
Agora, perceba que:
- faltam [tex]1000-353=647[/tex] algarismos até chegarmos à posição [tex]1000[/tex];
- a partir de [tex]9801[/tex], os próximos quadrados terão cinco dígitos: [tex]100^2=10000,\, 101^2=10201, \, 102^2=10404,\, \cdots [/tex];
- dividindo [tex]647[/tex] por [tex]5[/tex], encontramos quociente [tex]129[/tex] e resto [tex]2[/tex].
Dessa forma, juntando os [tex]353[/tex] dígitos iniciais com mais [tex]129\cdot5=645[/tex] dígitos provenientes dos quadrados dos próximos [tex]129[/tex] números sequenciais, obtemos então um total de [tex]353+645=998[/tex] dígitos, chegando, assim, à posição [tex]998[/tex].
Observe que os [tex]129[/tex] próximos quadrados perfeitos de cinco dígitos são [tex]100^2=10000, \dots, 228^2=51984[/tex].
Tomando o quadrado do [tex]229[/tex], temos [tex]229^2=52441[/tex] e como só precisamos chegar até à posição [tex]1000[/tex], basta pegarmos o primeiro e o segundo algarismo do [tex]52441[/tex].
Portanto, o dígito que ocupa a posição [tex]1000[/tex] da lista em questão é o [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$2$}~.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.