.Probleminha: Árvore Mágica

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)


(Círculos Matemáticos da OBMEP) No reino da Frutilândia, existe uma árvore mágica que possui [tex]2005[/tex] maçãs e [tex]2006[/tex] morangos. Todo dia, um garoto sobe na árvore e come duas frutas:

  • quando ele come duas frutas iguais, nasce um morango na árvore;
  • quando ele come duas frutas diferentes, nasce uma maçã.

Dentro de alguns dias, restará apenas uma fruta na árvore. Que fruta será?

Solução


Sempre que o garoto come duas frutas da árvore, o número de maçãs diminuirá em duas unidades ou permanecerá constante. Por exemplo, no primeiro dia:
I) Se ele comer duas maçãs, teremos [tex]2003[/tex] maçãs e [tex]2007[/tex] morangos;
II) Se ele comer dois morangos, teremos [tex]2005[/tex] maçãs e [tex]2005[/tex] morangos;
III) Se ele comer uma maçã e um morango, teremos [tex]2005[/tex] maçãs e [tex]2005[/tex] morangos.
Dessa forma, sempre teremos uma quantidade ímpar de maçãs, ou seja, a paridade do número de maçãs sempre será a mesma. Como inicialmente tínhamos um número ímpar de maçãs, a quantidade delas continuará ímpar até o final.
Logo, a última fruta deverá ser uma maçã.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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