Problema
(A partir do 9º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
(ONEM, 2010 – Adaptado) Os números naturais de dois algarismos [tex]~\boxed{ab}~[/tex] e [tex]~\boxed{ba}~[/tex] são raízes da equação
[tex]~x^2-88x+m=0.[/tex]
Determine os possíveis valores de [tex]m.[/tex]
(Observe que aqui as notações [tex]ab[/tex] e [tex]ba[/tex] não indicam produtos e sim representações de números com dois algarismos no sistema decimal.)
Lembrete
Em uma equação do segundo grau [tex]\boxed{a_2x^2+a_1x+a_0=0}[/tex], [tex]a_2\neq 0[/tex],
- a soma [tex]S[/tex] de suas raízes é dada por [tex]\boxed{S=-\dfrac{a_{1}}{a_2}}\,[/tex],
- o produto [tex]P[/tex] de suas raízes é dada por [tex]\boxed{P=\dfrac{a_{0}}{a_2}}\,.[/tex]
Solução
Como os números naturais [tex]~\boxed{ab}~[/tex] e [tex]~\boxed{ba}~[/tex] são raízes da equação [tex]~\boxed{x^2-88x+m=0}[/tex], a primeira informação do Lembrete nos garante que [tex]ab+ba=88[/tex]. Assim, segue que:
[tex]\qquad 88=ab+ba[/tex]
[tex]\qquad 88=\left(10\cdot a+b\right)+\left(10\cdot b+a\right)[/tex]
[tex]\qquad 88=11\cdot a+11 \cdot b[/tex]
[tex]\qquad 8 \cdot 11=11\cdot(a+b)[/tex]
[tex]\qquad 8=a+b.[/tex]
Como [tex]a[/tex] e [tex]b[/tex] são algarismos não nulos, pois [tex]ab[/tex] e [tex]ba[/tex] são números com dois algarismos, temos as seguintes possibilidades:
- [tex]a=1[/tex] e [tex]b=7[/tex],
- [tex]a=2[/tex] e [tex]b=6[/tex],
- [tex]a=3[/tex] e [tex]b=5[/tex],
- [tex]a=4[/tex] e [tex]b=4[/tex],
- [tex]a=5[/tex] e [tex]b=3[/tex],
- [tex]a=6[/tex] e [tex]b=2[/tex],
- [tex]a=7[/tex] e [tex]b=1[/tex].
Para determinarmos os possíveis valores de [tex]m[/tex], vamos utilizar a primeira informação do Lembrete, [tex](ab)\cdot (ba)=m[/tex] e observar que [tex]a\times b=b\times a.[/tex] Portanto, são estas as possibilidades de valores para [tex]m[/tex]:
- [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=17 \times 71=1207$}[/tex] ,
- [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=26 \times 62=1612$}[/tex] ,
- [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=35 \times 53=1855$}[/tex] ,
- [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$m=44 \times 44=19366$}[/tex] .
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