Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(J.P.O., Santos, Introdução à Análise Combinatória) De quantas maneiras uma comissão de [tex] 4 [/tex] pessoas pode ser formada, a partir de um grupo de [tex] 6 [/tex] homens e [tex] 6 [/tex] mulheres, se a mesma é composta de um número maior de homens do que de mulheres?
Lembretes:
✏ Uma das maneiras de agruparmos elementos de um dado conjunto é escolhê-los levando-se em consideração apenas a sua natureza, sem se importar em que ordem eles foram escolhidos ou apresentados. Esse tipo de agrupamento de elementos é denominado uma Combinação simples. Especificamente, quando escolhemos [tex]r[/tex] dentre [tex]n[/tex] elementos de um conjunto dessa forma, dizemos que estamos definindo uma Combinação simples de [tex]n[/tex] elementos tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex].
E o legal é que, dado um conjunto finito, podemos determinar quantos agrupamentos desse tipo podemos fazer, sem que precisemos exibi-los.
- O número de Combinações simples de [tex]n[/tex] elementos, tomados [tex]r[/tex] a [tex]r[/tex], é denotado por [tex]C_{n\, ,\, r}[/tex] ou [tex]C_n^r[/tex] e assim definido:
[tex]C_{n\, ,\, r}=C_n^r=\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!} \text{, com } n,r \in\mathbb{N} \text{ e }\, r\leqslant n[/tex].
O quociente [tex]\dfrac{n!}{(n-r)!\, r!}[/tex] também pode ser denotado por [tex]\dbinom{n}{r}[/tex] e nesse caso é denominado coeficiente binomial ou número binomial.
✏ Princípio Multiplicativo, para dois eventos: Se
- um evento E1 puder ocorrer de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- um evento E2 puder ocorrer de [tex]m_2 [/tex] maneiras,
e esses dois eventos forem independentes entre si, então a quantidade de maneiras em que os dois eventos ocorrem ao mesmo tempo é [tex]\boxed{m_1\times m_2}\, .[/tex]
Solução
Queremos contar o número de maneiras de formar uma comissão de [tex]4[/tex] pessoas, a partir de um grupo de [tex]6[/tex] homens e [tex]6[/tex] mulheres, de tal forma que número de homens deve ser maior do que o número de mulheres.
Assim, temos as seguintes situações possíveis:
- Caso 1: A comissão será composta de [tex]3[/tex] homens e [tex]1[/tex] mulher.
- Caso 2: A comissão será composta de [tex]4[/tex] homens e zero mulheres.
Neste caso, pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar
[tex]\qquad {\left( \begin{array}{c} 6 \\4 \end{array} \right)} \cdot {\left( \begin{array}{c} 6 \\ 0 \end{array} \right)} = 15 [/tex] comissões.
Neste caso, pelo Princípio Multiplicativo, podemos formar
[tex]\qquad {\left( \begin{array}{c} 6 \\ 3 \end{array} \right)} \cdot {\left( \begin{array}{c} 6 \\ 1 \end{array} \right)} = 20 \cdot 6 = 120 [/tex] comissões.
Portanto, podemos formar [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120 + 15 = 135$}[/tex] comissões a partir de um grupo de [tex]6[/tex] homens e [tex]6[/tex] mulheres, de modo que o número de homens seja maior do que o número de mulheres.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.