Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
(OPRM, 2016- 3ª Fase- Adaptado) Considere as equações [tex]\dfrac{a-b}{c-d}=2[/tex] e [tex]\dfrac{a-c}{b-d}=3[/tex], com [tex]a,b,c[/tex] e [tex]d[/tex] distintos dois a dois.
Calcule o valor de [tex]\dfrac{a-d}{b-c}.[/tex]
Solução
Observe, inicialmente que:
- de [tex]\dfrac{a-b}{c-d}=2[/tex], segue que:
- de [tex]\dfrac{a-c}{b-d}=3[/tex], segue que:
[tex]\qquad a-b=2c-2d[/tex]
[tex]\qquad a+2d=b+2c;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
[tex]\qquad a-c=3b-3d[/tex]
[tex]\qquad a+3d=3b+c.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Multiplicando a equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] por [tex]4[/tex] e a equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] por [tex]3[/tex] obtemos:
[tex]\qquad 4a+8d=4b+8c\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
e
[tex]\qquad 3a+9d=9b+3c.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex]
Agora, subtraindo [tex]\textcolor{#800000}{(iv)}[/tex] de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] vem que
[tex] \qquad a-d=-5b+5c[/tex]
[tex]\qquad a-d=-5(b-c).[/tex]
Logo, [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{a-d}{b-c}=-5$}.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.