Problema
(Indicado a partir do 3º ano do E. M.)
(OPRM, 2016 Adaptado) Desenvolvendo a expressão algébrica [tex]\boxed{E(x)=\left(ax^2-2bx+c+1\right)^5}~[/tex], obtém-se um polinômio [tex]p(x)[/tex] cuja soma dos coeficientes é [tex]32[/tex].
Sabendo que [tex]0[/tex] e [tex]-1[/tex] são raízes de [tex]p(x)[/tex], calcule [tex]a+b+c[/tex].
AJUDA
Dado um polinômio [tex]p(x)[/tex], para sabermos a soma de todos os seus coeficientes basta calcularmos [tex]p(1).[/tex]
Solução
Como [tex]0[/tex] é raiz do polinômio [tex]p(x)[/tex], então também será raiz de [tex]E(x)[/tex]. Assim, [tex]E(0)=0[/tex], donde:
[tex]\qquad (a\cdot 0^2-2\cdot b\cdot 0+c+1)^5=0[/tex]
[tex]\qquad c+1=0[/tex]
[tex]\qquad \boxed{c=-1}~.[/tex]
Com isso, [tex]E(x)=(ax^2-2bx)^5[/tex].
Mas [tex]-1[/tex] é raiz de [tex]p(x)[/tex] e consequentemente também de [tex]E(x)[/tex]; logo, [tex]E(-1)=0[/tex] e segue que:
[tex]\qquad (a\cdot (-1)^2-2\cdot b\cdot (-1))^5=0[/tex]
[tex]\qquad a+2b=0[/tex]
[tex]\qquad a=-2b.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Agora, como as somas dos coeficientes de [tex]p(x)[/tex] é igual a [tex]32[/tex], temos pelo Lembrete que [tex]p(1)=32[/tex] e então:
[tex]\qquad (a\cdot 1^2-2\cdot b\cdot 1)^5=32[/tex]
[tex]\qquad a-2b=\sqrt[5]{32}[/tex]
[tex]\qquad a-2b=2.\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Substituindo [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] em [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] temos
[tex]\qquad -2b-2b=2[/tex]
[tex]\qquad\boxed{ b=-\dfrac{1}{2}}~.[/tex]
Logo,
[tex]\qquad a=-2b[/tex]
[tex]\qquad a=-2\bigg(-\dfrac{1}{2}\bigg)[/tex]
[tex]\qquad \boxed{a=1}~.[/tex]
Portanto, [tex]a+b+c=1-\dfrac{1}{2}-1=~\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$-\dfrac{1}{2}$}~.[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.