Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
(Gerônimo, J.R.; Franco, S.V. Geometria Plana e Espacial: um estudo axiomático, 2ed. EDUEM, Maringá, PR. 2010 – Adaptado ) Uma lata na forma cilíndrica cujas medidas são [tex] 7,4 \hspace{0.1cm} cm [/tex] de altura e [tex]7,4 \hspace{0.1cm} cm[/tex] de diâmetro, está completamente cheia de massa de brigadeiro. Ana deseja comprar forminhas específicas para colocar brigadeiros em formato esférico cujo raio mede [tex] 1 \hspace{0.1cm} cm. [/tex] Estes brigadeiros devem ser preparados com o material contido na lata.
Quantas forminhas, no máximo, serão necessárias?
Lembretes
(1) O volume de um cilindro de diâmetro [tex]2R [/tex] e altura [tex] h [/tex] é dado por:
[tex]\qquad \qquad \boxed{V_C=\pi\times R^2\times h} \,\, \text{unidades de volume}.[/tex]
(2) O volume da esfera de raio [tex] R [/tex] é dado por:
[tex]\qquad \qquad \boxed{V_S=\frac{4}{3} \times \pi \times R^3} \,\, \text{unidades de volume}. [/tex]
Solução
Observem que temos dois tipos de formas no enunciado: cilindro e esfera. Observem ainda que o volume total não deve mudar!
Pelo Lembrete 1, o volume do cilindro do enunciado é igual a [tex] V_C= \pi \times \left(3,7\right) ^{2} \times 7,4 . [/tex] Como cada brigadeiro de mesmo formato esférico terá [tex] 1 cm [/tex] de raio, o volume de cada brigadeiro será, pelo Lembrete 2,
[tex]\qquad V_S= \frac{4}{3} \times \pi \hspace{0.1cm} \, cm ^{3} . [/tex]
Seja [tex] T [/tex] o total de brigadeiros cujo volume é igual a [tex] \frac{4}{3} \times \pi \hspace{0.1cm} cm ^{3} . [/tex]
Dessa forma, temos que:
[tex]\qquad T=\dfrac{\cancel{\pi} \times \left(3,7\right)^{2} \times 7,4}{\frac{4}{3} \times\cancel{\pi}}=75,9795. [/tex]
Como [tex] T [/tex] é um número natural, então Ana precisará de [tex] 75 [/tex] forminhas para brigadeiros em formato esférico de raio [tex]1 \hspace{0.1cm} cm. [/tex]
(Se Ana fizer um único brigadeiro um pouco menor, de modo a aproveitar toda a massa, ela precisará de [tex] 76 [/tex] forminhas.)
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
|
Se for conveniente, você pode obter um arquivo PDF desta página, com o problema e a solução, clicando no botão abaixo. |