Problema
Felipe observa que, quando fez 14 anos, seu pai tinha 41 anos, isto é, as idades tinham algarismos invertidos.
Supondo que Felipe e seu pai viverão cem anos, quantas outras vezes voltará a ocorrer essa coincidência?
Solução
Observe que a diferença entre as idades do pai e do filho, sempre que ele completa aniversário, é de [tex]41-14 = 27[/tex] anos.
Suponha que em algum momento a idade do pai e do filho possuam dígitos invertidos, então a idade do filho pode ser representada por [tex]\fbox{$10a+b$}[/tex] e a do pai por [tex]\fbox{$10b+a$}[/tex] ([tex]ab[/tex] e [tex]ba[/tex], respectivamente).
Assim:
[tex]\qquad (10b+a)-(10a+b) = 27[/tex]
[tex]\qquad 9b-9a=27[/tex]
[tex]\qquad 9(b-a)=27[/tex]
[tex]\qquad b-a=\dfrac{27}{9} = 3[/tex];
ou seja, se as idades de pai e filho possuem dígitos invertidos, então a diferença desses dígitos é 3.
Com isso, temos os seguintes casos:
- Pai com 52 anos e Filho com 25;
- Pai com 63 anos e Filho com 36;
- Pai com 74 anos e Filho com 47;
- Pai com 85 anos e Filho com 58;
- Pai com 96 anos e Filho com 69.
Portanto, a coincidência ocorrerá mais cinco vezes.
Solução elaborada pelo aluno do PIC-OBMEP Angelo Donizeti Lorenconi Junior.