Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
É possível que as seis diferenças entre dois elementos de um conjunto de quatro números inteiros sejam iguais a 2,2,3,4,4,6?
Justifique.
Solução 1
Não. Vejamos o porquê!
Se a,b,x,y fossem números inteiros cujas diferenças são 2,2,3,4,4,6, então duas dessas diferenças, digamos a−b e x−y, seriam 3 e 4.
Mas se a−b=4 e x−y=3, então a e b teriam a mesma paridade, enquanto que x e y teriam paridades contrárias*.
Dessa forma, a−x e a−y (assim como b−x e b−y) teriam paridades contrárias*, o que é impossível, já que as demais diferenças, 2,2,4 e 6, têm todas a mesma paridade.
Deste modo, é impossível que a configuração 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.
( * ) Você saberia explicar por quê? Não? Então leia este texto.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
Suponhamos que existam quatro números inteiros cujas diferenças sejam 2,2,3,4,4,6.
Se os quatro números são inteiros, então um dentre estes quatro casos deve necessariamente ocorrer:
1º) Os quatro números são todos pares ou todos ímpares.
Neste caso, as diferenças seriam todas pares*. Assim, não poderia aparecer 3 como diferença.
2º) Três números são pares e um número é ímpar.
Aqui iriam aparecer três diferenças ímpares*, o que não é o caso.
3º) Dois números são pares, e dois ímpares.
Agora deveriam aparecer quatro diferenças ímpares*, o que também não é o caso.
4º) Três números são ímpares e um par.
Mais uma vez iriam aparecer três diferenças ímpares*, o que não ocorre.
Esgotadas as possibilidades de paridade para os quatro números inteiros em questão, concluímos que é impossível que a configuração 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.
( * ) Você saberia explicar por quê? Não? Então leia este texto.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 3
Suponhamos que existam quatro números inteiros a<b<c<d cujas diferenças sejam 2,2,3,4,4,6.
Assim, podemos afirmar que:
- d−a=6; (Tente justificar.)
- as diferenças d−c, c−b e b−a estão na lista 2,2,3,4,4,6.
Mas, por outro lado, (d−c)+(c−b)+(b−a)=d−a=6 e na lista 2,2,3,4,4,6 não temos três números cuja soma seja 6.
Portanto é impossível que a configuração 2, 2, 3, 4, 4, 6 exista.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
1 comentário
Nosso grupo tinha encontrado uma solução semelhante a 2.
A resposta é não, para justificar vamos fazer algumas suposições. Sem nos esquecer que a diferença de dois números de mesma paridade resulta em um número de paridade par e a diferença entre dois números de paridades diferentes resulta em um número de paridade ímpar.
1. Todos os elementos sejam pares.
Nesse caso não seria possível pois a diferença entre dois elementos desse conjunto seria sempre par.
2. 1 elemento seja ímpar.
Nesse caso não seria possível pois as seis diferenças seriam 3 números impares e 3 pares.
3. 2 elementos sejam impares.
Nesse caso não seria possível pois as seis diferenças seriam 4 números impares e 2 pares.
4. 3 elementos sejam impares.
Nesse caso não seria possível pois as seis diferenças seriam 3 números impares e 3 pares.
5. Todos os elementos sejam impares.
Nesse caso não seria possível pois a diferença entre dois elementos desse conjunto seria sempre par.
Logo não é possível pois não existe nenhum caso que resulte em apenas um número de paridade ímpar.