.Problema: Torneio de futebol

Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)


Num torneio de futebol participavam quatro times – Miraflores, Ovacionados, Tá na Rede F. C. e Saltimbancos – sendo que cada um deles jogou uma única vez com todos os outros. O torneio foi disputadíssimo e teve várias singularidades: não só não houve dois resultados iguais como cada equipe ganhou um jogo, perdeu outro e empatou o terceiro.
O desempate para atribuição da taça teve de ser feito por diferença de gols. O Ovacionados foi o vencedor, com 4 gols marcados e 2 sofridos. Seguiram-se o Tá na Rede F. C., com 2 marcados e dois sofridos; o Miraflores, com 3 marcados e 4 sofridos; e o Saltimbancos, com 2 contra 3.
torneio de futebol 3

Quais foram os resultados dos seis jogos?

Solução


Os resultados foram:
Ovacionados 0 x 1 Tá na Rede F. C.
Miraflores 0 x 2 Saltimbancos
Ovacionados 3 x 0 Saltimbancos
Miraflores 2 x 1 Tá na Rede F. C.
Ovacionados 1 x 1 Miraflores
Tá na Rede F. C. 0 x 0 Saltimbancos
Vejamos a justificativa.

  • A partir dos gols marcados pelas quatro equipes, descobrimos que o total de gols nas seis partidas disputadas foi 4+2+3+2=11, o que dá uma média muito baixa, inferior a 2 gols por jogo. Como os resultados foram TODOS DIFERENTES, a única possibilidade é:
    ● sem gols: 0 x 0
    ● com 1 gol: 1 x 0
    ● com 2 gols : 2 x 0 e 1 x 1
    ● com 3 gols: 3 x 0 e 2 x 1.
    Observe que nessa relação aparecem os 11 gols e os dois empates que sabemos que aconteceram.
  • Comecemos por ver que resultados poderá ter tido o Tá na Rede F. C..
    Para marcar e sofrer 2 gols, só há duas possibilidades:
    0 x 0 (E), 0 x 1 (D) e 2 x 1 (V) ou 0 x 0 (E), 1 x 2 (D) e 1 x 0 (V)
    ( E = empate; D = derrota; V = vitória)
    Em qualquer um dos casos, o empate do Tá na Rede F. C. terá de ser 0 x 0.
  • Quem terá ganho por 3 x 0 ?
    O Tá na Rede F. C. e o Saltimbancos não foram, pois só marcaram 2 gols cada. O Miraflores também não, pois não poderia sofrer 4 gols nos outros dois jogos, sendo um deles um empate. Logo, foi o Ovacionados.
  • Nos outros jogos, o Ovacionados marcou 1 gol e sofreu 2.
    Temos, então, duas hipóteses:
    Hipótese 1 (H1): 1 x 1 (E) e 0 x 1 (D) ou
    Hipótese 2 (H2): 0 x 0 (E) e 1 x 2 (D).
  • Vejamos agora quem perdeu por 3 x 0 para o Ovacionados.
    O Tá na Rede F. C. já sabemos que não pode ser. Poderia ser, então, o Miraflores que para fazer os 3 gols marcados e 4 sofridos deveria ter, obrigatoriamente, como resultados adicionais um empate em 1 x 1 e uma vitória com placar de 2 x 0. Note que isto, no entanto, é impossível, pois não teria, assim, resultado em comum com o Tá na Rede F. C..
    Logo, concluímos ter sido o Saltimbancos que perdeu para o Ovacionados por 3 x 0.
  • E os seus demais resultados do Ovacionados?
    Como não pode sofrer mais gols, os resultados terão de ser 0 x 0 (E) e 2 x 0 (V). O empate sem gols sabemos que foi contra o Tá na Rede F. C., razão pela qual concluímos que a vitória foi contra o Miraflores.
  • O empate sem gols entre Saltimbancos e Tá na Rede F. C. elimina a hipótese H2 para os resultados do Ovacionados. O empate em 1 x 1 foi, então, do Ovacionados contra o Miraflores, já que as outras duas equipes empataram entre si. A derrota do Ovacionados (0 x 1) só pode ter sido, pois, contra o Tá na Rede F. C..
  • Finalmente, como o Tá na Rede F. C. ganhou de 1 x 0 do Ovacionados, perdeu para o Miraflores (1 x 2).

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participaram da discussão do problema os seguintes Clubes: Einstens do Leonor II; Math Error; Os Pitagóricos.

Link permanente para este artigo: http://clubes.obmep.org.br/blog/problema-torneio-de-futebol/