.Probleminha: Brincadeira Plin

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Na brincadeira Plin, crianças se reúnem em um círculo e, no sentido anti-horário, cada criança fala um número natural, começando do [tex]1[/tex], em ordem crescente. Contudo, quando o número for múltiplo de [tex]4[/tex] deverá ser dita a palavra Plin ao invés do número.

Mariana reuniu-se com suas amigas e foram brincar. Elas começaram a falar: um, dois, três, Plin, cinco, seis, sete, Plin e assim seguiram.
Mariana reparou que falou seu primeiro Plin no lugar do número [tex]4[/tex], falou alguns números (mais de um) e falou o seu segundo Plin no lugar do número [tex]32[/tex]. Quantas crianças estavam brincando?

Solução

Seja [tex]n[/tex] o número total de crianças. Observe que Mariana irá dizer Plin nos múltiplos de [tex]4[/tex] contidos na seguinte sequência de números

[tex]4, 4+n, 4+2n, \cdots[/tex]

Como o segundo Plin dito pela Mariana foi no lugar do número [tex]32[/tex], segue que [tex]4+kn=32[/tex] para algum número natural [tex]k[/tex] e, assim, [tex]kn=28.[/tex] Com isso, podemos concluir que [tex]n[/tex] é um divisor de [tex]28[/tex], ou seja, [tex]n[/tex] é um número do conjunto [tex]\{1,2,4,7,14,28\}.[/tex]
Observe que:

► Se [tex]n[/tex] fosse [tex]1[/tex], Mariana estaria brincando sozinha e teria dito o segundo Plin no lugar do [tex]8[/tex] e não do [tex]32[/tex]. Assim, [tex]n\ne 1.[/tex]
► Se [tex]n[/tex] fosse [tex]2[/tex], Mariana estaria brincando com apenas uma amiga e, portanto, teria dito o segundo Plin no lugar do [tex]8[/tex] e não do [tex]32[/tex]. Assim, [tex]n\ne 2.[/tex]
► Se [tex]n[/tex] fosse [tex]4[/tex], Mariana estaria brincando com mais três amigas e, portanto, teria dito o segundo Plin no lugar do [tex]8[/tex] e não do [tex]32[/tex]. Assim, [tex]n\ne 4.[/tex]
► Se [tex]n[/tex] fosse [tex]14[/tex], Mariana estaria brincando com treze amigas. Ela teria dito, de fato, o segundo Plin no lugar do [tex]32[/tex], mas teria dito apenas o número [tex]18[/tex] entre [tex]4[/tex] e [tex]32[/tex], o que contraria o enunciado que garante que ela falou “mais de um número” entre o primeiro e o segundo Plin. Assim, [tex]n\ne 14.[/tex]
► Se [tex]n[/tex] fosse [tex]28[/tex], Mariana estaria brincando com [tex]27[/tex] amigas. Ela teria dito o segundo Plin no lugar do [tex]32[/tex], mas não teria dito outro número entre [tex]4[/tex] e [tex]32[/tex], o que contraria o enunciado que garante que ela falou “mais de um número” entre o primeiro e o segundo Plin. Assim, [tex]n\ne 28.[/tex]

Logo, estavam brincando sete crianças, Mariana e mais seis amigas, e ela falou os números: