Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Calcule o valor da expressão [tex]\boxed{ 1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots\ +19\cdot19! \, } \, .[/tex]
Solução 1
Note que:
[tex]\qquad x\cdot x!=(x+1-1)\cdot x![/tex]
[tex]\qquad x\cdot x!=(x+1)\cdot x! – x![/tex]
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$ x\cdot x!=(x+1)! – x! \, $} \, .[/tex]
Assim, se [tex]V[/tex] é o valor da expressão a ser calculada, então:
[tex]\qquad V=\textcolor{red}{1\cdot1!}+\textcolor{blue}{2\cdot2!}+\textcolor{green}{3\cdot3!}+\cdots\ +\textcolor{#FF00FF}{19\cdot19!} \\
\qquad V=\textcolor{red}{2! – 1!} + \textcolor{blue}{3! – 2!} + \textcolor{green}{4! – 3!}+ \cdots\ +19! – 18! + \textcolor{#FF00FF}{20! – 19!}\\
\qquad V=\cancel {2!} – 1! + \cancel {3!} – \cancel {2!} + \cancel {4!} – \cancel {3!}+ \cdots\ + \cancel {19!} – \cancel {18!} + 20! – \cancel {19!}\\
\qquad V= 20!-1\,.[/tex]
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots\ +19\cdot19!=20!-1$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2 – Para quem sabe o que é um processo de Indução
Para resolver o problema, vamos primeiramente determinar uma fórmula para calcular expressões do tipo
[tex]S_n=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +n\cdot n!=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i\cdot i! \, .[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(1)}[/tex] Primeiramente vamos calcular o valor da soma [tex]S_n[/tex] acima para os primeiros naturais e tentar perceber algum padrão:
[tex]\qquad \qquad \begin{array}{r l}
n=1: \, & S_1=1\cdot 1!=1 =2!-1\\
n=2: \, & S_2=1\cdot 1!+2\cdot 2!=5=3!-1\\
n=3: \, & S_3=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!=23=4!-1\\
n=4: \, & S_4=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+4\cdot 4!=119=5!-1 \, .
\end{array}
[/tex]
Dos cálculos acima, deduzimos que a soma [tex]S_n[/tex] é dada por:
[tex] \, \fcolorbox{black}{#d7d7d7}{$S_n=\displaystyle\sum_{i=1}^{n} i\cdot i!=(n+1)!-1 \, $} \, .[/tex]
Vamos provar a afirmação por indução sobre [tex]n[/tex].
- Para [tex]n=1[/tex] já vimos que a fórmula é válida (na verdade já vimos que funciona para [tex]n=1, 2, 3, 4[/tex]).
- Agora, vamos para o segundo passo da indução. Suponhamos que a fórmula seja válida para um natural [tex]k\geq1[/tex]. Vamos mostrar que, então, a fórmula também é valida para [tex]k+1[/tex]:
[tex]\begin{array}{ccl}
S_{k+1}&=&1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +k\cdot k!+(k+1)\cdot (k+1)! \\
&=&\left[1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +k\cdot k!\right]+(k+1)\cdot (k+1)!\\
&=&S_k+(k+1)\cdot (k+1)! \\
&=&(k+1)!-1+(k+1)\cdot (k+1)! \\
&=& (k+1)!\cdot [1+(k+1)]-1 \\
&=& (k+1)!\cdot [k+2]-1 \\
&=& (k+2)!-1 \\
\end{array}[/tex]
Portanto, a fórmula é válida para todo número natural não nulo [tex]n.[/tex]
[tex]\textcolor{#800000}{(2)}[/tex] Agora, basta aplicarmos esta fórmula para [tex]n=19[/tex]:
[tex]\qquad S_{19}=1\cdot 1!+2\cdot 2!+3\cdot 3!+\cdots +19\cdot 19!=\fbox{20!-1} \, .[/tex]
Portanto, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$1\cdot1!+2\cdot2!+3\cdot3!+\cdots\ +19\cdot19!=20!-1$} \, .[/tex]
Solução elaborada pelo Faapers, com contribuições dos Moderadores do Blog.