Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Bruno tem um relógio muito engraçado. A cada vez que o ponteiro dos minutos se sobrepõe ao ponteiro das horas, ele emite um plim. Ao longo de um dia, 24 horas, quantos “plins” Bruno escuta?
Solução
Sem perda de generalidade, podemos começar a contagem às 00:00h.
- Assim, Bruno ouvirá um plim às 00:00 h.
À 01:00 h, o ponteiro dos minutos estará no 12 e o das horas no 1, ou seja, Bruno ainda não terá ouvido o 2º plim.
Após mais alguns minutos, os ponteiros se cruzarão, entre 01:05 h e 01:10 h. Este será o único cruzamento entre 01:00 h (inclusive) e 02:00 h (exclusive).
Depois, entre 02:00 h e 03:00 h, haverá outro cruzamento, e assim por diante, até o 11º plim, entre 10:00 h e 11:00 h.
O detalhe diferenciado é entre 11:00 h (inclusive) e 12:00 h (exclusive), pois não se ouvirá plim algum. De fato, às 11:00 h, o ponteiro dos minutos estará no 12 e o das horas no 11, sendo que chegarão ao 12 ao mesmo tempo às 12:00 h. Logo, o 12º plim será ouvido exatamente às 12:00 h. - Prosseguindo, em algum momento entre 13:05 h e 13:10 h ouvir-se-á o 13º plim e assim sucessivamente, um plim por hora, até o 22º plim entre 22:00 h e 23:00 h.
Não se ouvirá outro plim neste dia, pois o próximo será exatamente às 00:00 h do dia posterior.
Portanto, ao longo das 24 horas de um dia, Bruno escuta 22 plins.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Um applet para conferir
OBMEP_ nzm, criado com o GeoGebra
Observamos que o applet ajuda na visualização do resultado; mas, matematicamente, não substitui sua demonstração.
Figura do coelho extraída de: https://myelitedetail.us/clipart/disney-clipart-white-rabbit_2104001.html (Último acesso em 14/11/18)
Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.