Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Determine o número natural de três algarismos que tem as seguintes propriedades:
- O algarismo das centenas é igual à soma dos outros dois algarismos.
- O quádruplo do algarismo das unidades é igual à soma dos outros dois algarismos.
Solução
Seja [tex]n=xyz[/tex] o número natural que satisfaz as hipóteses do problema.
Assim:
[tex] \qquad x=y+z [/tex]
[tex] \qquad 4\cdot z=y+x[/tex]
e podemos, então, considerar o seguinte sistema:
[tex]\qquad \begin{cases}
y+z=x \qquad \textcolor{#800000}{(i)} \\
4\cdot z=y+x. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}
\end{cases}[/tex]
Somando as equações [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex] e [tex] \, \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos
[tex] \qquad (y+z)+4\cdot z=x+(y+x)[/tex]
[tex] \qquad \cancel{y}+5\cdot z=2\cdot x+\cancel{y}[/tex]
[tex] \qquad 5\cdot z=2\cdot x. \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Como estamos lidando com números naturais, a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex] nos mostra que o número [tex]2\cdot x[/tex] é um múltiplo de [tex]5[/tex] e, como [tex]2[/tex] é primo, na verdade [tex]x[/tex] é múltiplo de [tex]5[/tex].
Mas lembre-se de que [tex]x[/tex] é um algarismo; assim, [tex]x=0[/tex] ou [tex]x=5[/tex]. Mais ainda, [tex]x[/tex] é o primeiro dígito de um número de três algarismos; com isso, [tex]x\ne 0[/tex] e, portanto, [tex]\boxed{x=5} \, .[/tex]
Consequentemente, por [tex]\textcolor{#800000}{(iii)} \, [/tex], temos que [tex]5z=10[/tex] e, então, [tex]\boxed{z=2} \, .[/tex]
Finalmente, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)} \, [/tex], segue que:
[tex] \qquad y=x-z[/tex]
[tex] \qquad y=5-2[/tex]
[tex] \qquad \boxed{y=3} \, .[/tex]
Dessa forma, o número procurado é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$n=532$} \, .[/tex]
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