Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Seja [tex]f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}[/tex] uma função não constante tal que
- [tex]f(x+y)=f(x)\cdot f(y)[/tex], [tex]\forall\, x,\, y\, \in \mathbb{R}[/tex].
(a) Determine o valor de [tex]f(0)[/tex].
(b) Mostre que [tex]f(x)\gt 0, \, \forall \, x \, \in \mathbb{R}[/tex].
(c) A função [tex]f[/tex] é sobrejetiva?
Solução
(a) Observe que, se [tex]x \in \mathbb{R}[/tex], então particularmente [tex]f\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=f\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot f\left(\dfrac{x}{2}\right).[/tex]
Dessa forma,
[tex]\qquad f(0+0)=f(0)\cdot f(0)[/tex],
ou seja,
[tex]\qquad f(0)=\left(f(0)\right)^2[/tex],
ou ainda
[tex]\qquad \left(f(0)\right)^2-f(0)=0 \, . \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Observe que a igualdade [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] nos garante que [tex]f(0)[/tex] é raiz da equação [tex]x^2-x=0 \, [/tex], cujas soluções são [tex]x_1=0 \, [/tex] e [tex] \, x_2=1.[/tex] Assim, [tex]f(0)=0 \, [/tex] ou [tex] \, f(0)=1.[/tex]
- Se [tex]f(0)=0[/tex], teremos a função constante [tex]f(x)=0 \, [/tex], uma vez que [tex]f(x)=f(x+0)=f(x)\cdot f(0)=0,\, \forall x \, \in\, \mathbb{R}.[/tex]
Como [tex]f[/tex] não é uma função constante, temos [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(0)=1$} \, .[/tex]
(b) Como [tex]f\left(\dfrac{x}{2}+\dfrac{x}{2}\right)=f\left(\dfrac{x}{2}\right)\cdot f\left(\dfrac{x}{2}\right),[/tex] segue que
[tex]\qquad \qquad f(x)=\left(f\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2 \textcolor{red}{\geq} 0,\, \forall \, x \in \, \mathbb{R}.[/tex]
Para garantirmos que [tex]f(x)\textcolor{red}{\gt} 0, \, \forall \, x \, \in \mathbb{R}[/tex], falta provar que [tex]f(x) \textcolor{red}{\neq} \, 0\, \forall \, x \in \, \mathbb{R}.[/tex]
- Com efeito, se existisse um número real [tex]a[/tex] tal que [tex]f(a)=0,[/tex] teríamos [tex]f(x)=f(x+a-a)=f(x-a)\cdot f(a) =0, \, \forall \, x \in \, \mathbb{R} \, .[/tex]
Mas, se [tex]f[/tex] se anula em um ponto [tex]a[/tex], [tex]f[/tex] é constante igual a zero, o que contradiz o enunciado.
Assim, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f(x)\gt 0,\, \forall \, x \in \, \mathbb{R}$}.[/tex]
(c) Observe, pelo item b, que [tex]f(x)\gt 0,\, \forall \, x \in \, \mathbb{R}[/tex]. Assim, o conjunto imagem de [tex]f[/tex] é formado apenas por números reais positivos e, com isso, observamos que o contradomínio de [tex]f[/tex] é diferente do conjunto imagem [tex]\left(Im(f) \subset \mathbb{R_+^*} \ne \mathbb{R}\right)[/tex].
Logo [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$f \text{ não é sobrejetiva}$} \, .[/tex]
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