.Problema: Número de alunos

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)


Um grupo de alunos resolveu comprar mantimentos para uma família que estava necessitada. O valor final da compra foi [tex]R\$\ 810,00[/tex], e seria igualmente dividido por todos.
Nove professores da turma ficaram encantados com a ação humanitária e resolveram entrar na divisão dos custos. Ao dividir novamente o valor da compra, o valor por pessoa ficou [tex]R\$\ 3,00[/tex] mais barato.
Determine o número de alunos.

Solução


Seja [tex]x[/tex] o número de alunos e [tex]p[/tex] o preço que cada um iria pagar na divisão, antes da entrada dos professores. Dessa forma, encontramos esta equação:
[tex]\qquad \qquad 810=px \, . \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex],
Como entraram nove professores no grupo de pagantes, o valor a ser pago por pessoa diminuiu em [tex]R\$3,00[/tex]; assim, temos uma nova equação:
[tex]\qquad \qquad 810=(p-3)(x+9) \, . \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]

Isolando [tex]p[/tex] na equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e substituindo na equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex], obtemos:
[tex]\qquad 810=\left(\dfrac{810}{x}-3\right)\cdot (x+9)[/tex]
[tex]\qquad 810x=(810-3x)\cdot (x+9)[/tex]
[tex]\qquad 3x^2+27x-7290=0[/tex]
[tex]\qquad x^2+9x-2430=0 \, . \qquad \qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
A equação do segundo grau [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] tem duas soluções:[tex]x_1=45[/tex] e [tex]x_2=-54 \, .[/tex]
Como o número de alunos deve ser um número natural, então descartamos a resposta negativa e obtemos como resposta [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$45$} \, [/tex] alunos.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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