Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
Um professor de uma escola desenvolveu um trabalho com seus 165 alunos.
Para isso, distribuiu esses alunos em grupos com exatamente 11 componentes e percebeu que em todos os grupos a quantidade de alunas era maior do que a de alunos.
- Esse professor tem mais do que 96 alunas?
- E menos do que 50 alunos, é possível?
- É possível que esse professor tenha menos do que 92 alunas?
- E mais do que 77 alunos, é possível?
- É possível que esse professor tenha menos do que 77 alunas?
- Qual o número mínimo de alunas que o professor tem?
- Qual o número máximo de alunos que o professor tem?
Solução
Como [tex]165=11 \times 15 \, [/tex], então o professor mencionado no problema dividiu seus [tex]165[/tex] alunos em [tex]15[/tex] grupos com [tex]11[/tex] componentes cada.
[tex]
\underbrace{\begin{array}{c c c c c c}
\underline{\text{11 componentes}}&\underline{\text{11 componentes}}&\underline{\text{11 componentes}}& \cdots &\underline{\text{11 componentes}}&\underline{\text{11 componentes}}\\
G_1&G_2&G_3&&G_{14}&G_{15}\end{array}}_{\text{165 alunos}}
[/tex]
Como em cada grupo a quantidade de alunas era maior do que a de alunos, cada grupo tinha, no mínimo [tex]6[/tex] alunas (podendo inclusive ter [tex]11[/tex] alunas),
já que se um grupo tivesse menos do que [tex]6 [/tex] alunas ([tex]5, \, 4, \, 3, \, 2, \, 1, \, 0[/tex]), então nesse grupo existiriam no mínimo [tex]6 [/tex] alunos, o que não é possível.
Assim, se [tex]\textcolor{#FF1493}{a_i}[/tex] e [tex]\textcolor{#00BFFF}{o_i}[/tex] denotarem, respectivamente, o número de alunas e o de alunos do grupo [tex]G_i[/tex], então
[tex]\qquad \qquad \boxed{\textcolor{#FF1493}{6\leqslant a_i \leqslant 11}}\qquad [/tex] e [tex]\qquad \boxed{\textcolor{#00BFFF}{0 \leqslant o_i \leqslant 5}} \, . [/tex]
Dessa forma, como foram criados [tex]15[/tex] grupos, então o número total de alunas, [tex]\textcolor{#FF1493}{A} \, [/tex], e o número total de alunos, [tex]\textcolor{#00BFFF}{O} \, [/tex], satisfazem às seguintes relações:
[tex]\qquad \qquad \boxed{\textcolor{#FF1493}{90\leqslant A \leqslant 165}}\qquad [/tex] e [tex]\qquad \boxed{\textcolor{#00BFFF}{0 \leqslant O \leqslant 75}} \, . [/tex]
Perceba que:
- ao número mínimo de alunas ([tex]90[/tex]), corresponde o número máximo de alunos ([tex]75[/tex]): [tex]90+75=165[/tex]
- ao número máximo de alunas ([tex]165[/tex]), corresponde o número mínimo de alunos ([tex]0[/tex]): [tex]165+0=165 \, .[/tex]
Feitas essas observações, vamos às respostas:
(1) Esse professor tem mais do que [tex]96[/tex] alunas?
- NÃO.
O professor pode ter mais do que [tex]96[/tex] alunas, mas não tem necessariamente mais do que [tex]96[/tex] alunas.
(2) E menos do que [tex]50[/tex] alunos, é possível?
- SIM.
Observe que o professor pode ter de [tex]0[/tex] a [tex]75[/tex] alunos; assim, é possível que ele tenha menos do que [tex]50[/tex] alunos.
(3) É possível que esse professor tenha menos do que [tex]92[/tex] alunas?
- SIM.
Observe que o professor pode ter de [tex]90[/tex] a [tex]165[/tex] alunas; assim, é possível que ele tenha menos do que [tex]92[/tex] alunas.
(4) E mais do que [tex]77[/tex] alunos, é possível?
- NÃO.
Observe que o professor pode ter de [tex]0[/tex] a [tex]75[/tex] alunos; assim, é impossível que ele tenha mais do que [tex]77[/tex] alunos.
(5) É possível que esse professor tenha menos do que [tex]77[/tex] alunas?
- NÃO.
Observe que o professor pode ter de [tex]90[/tex] a [tex]165[/tex] alunas; assim, é impossível que ele tenha menos do que [tex]77[/tex] alunas.
(6) Qual o número mínimo de alunas que o professor tem?
- O professor pode ter, no mínimo, [tex]90[/tex] alunas.
(7) Qual o número máximo de alunos que o professor tem?
- O professor pode ter, no máximo, [tex]75[/tex] alunos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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