Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Duas tribos vivem numa ilha:
- a tribo amarela
- a tribo verde.
Os membros da tribo verde só dizem a verdade e os da amarela, só mentira.
Um dia, [tex]100[/tex] pessoas da ilha se reuniram num círculo e um turista se dirigiu a cada uma delas, com a pergunta:
– O seu vizinho à direita fala a verdade?
Terminada a consulta, verificou-se que [tex]84[/tex] pessoas responderam “não”.
No máximo, quantas pessoas da tribo verde poderiam estar no círculo?
Solução
Primeiramente, vamos analisar os possíveis casos:
1º) A pergunta foi feita a uma pessoa e ao seu lado está um membro da outra tribo.
- Se a pergunta foi feita a uma pessoa da tribo verde (que diz a verdade) e ao seu lado está uma pessoa da tribo amarela (que apenas mente), então a resposta será não.
- Se a pergunta foi feita a uma pessoa da tribo amarela (que diz mentira) e ao seu lado está uma pessoa da tribo verde (que diz a verdade), então a resposta também será não. Afinal, ele mentirá na sua resposta.
2º) A pergunta foi feita a uma pessoa e ao seu lado está um membro da mesma tribo.
- Se a pergunta foi feita a uma pessoa da tribo verde (que diz a verdade) e ao seu lado está uma outra pessoa da tribo verde, então a resposta será sim.
- Se a pergunta foi feita a uma pessoa da tribo amarela (que mente) e ao seu lado está uma outra pessoa da tribo amarela, então a resposta também será sim. Afinal, ele contará uma mentira.
Portanto, se uma pessoa responde não, então esta pessoa e a da direita não são da mesma tribo, mas se responder sim, então ela e a pessoa à sua direita são da mesma tribo.
Assim, se [tex]84[/tex] pessoas responderam não, então ao percorrer o círculo no sentido anti-horário, por exemplo, observaremos [tex]84[/tex] trocas de cor da tribo. Para que haja [tex]84[/tex] trocas, deve haver pelo menos [tex]42[/tex] pessoas da tribo verde e [tex]42[/tex] da tribo amarela dispostas alternadamente.
Como queremos o máximo de pessoas da tribo verde, então podemos colocar as [tex]100-42-42=16[/tex] pessoas restantes juntas num mesmo bloco verde. Logo, há no máximo [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$100-42=58$}[/tex] pessoas da tribo verde.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.