Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Qual o algarismo das unidades de [tex]3^{3^{3}}[/tex]?
Solução
Sabemos que [tex]3^{3^{3}}=3^{27}[/tex].
Agora, vamos analisar as primeiras potências de base [tex]3[/tex] com expoente natural:
[tex]\qquad 3^{0}=1[/tex]
[tex]\qquad 3^{1}=3[/tex]
[tex]\qquad 3^{2}=9[/tex]
[tex]\qquad 3^{3}=27[/tex]
[tex]\qquad 3^{4}=81[/tex]
[tex]\qquad 3^{5}=243[/tex]
[tex]\qquad 3^{6}=729[/tex]
[tex]\qquad 3^{7}=2187[/tex]
[tex]\qquad \vdots[/tex]
Note que toda potência de base [tex]3[/tex] e expoente natural terá como possíveis algarismos das unidades os números [tex]1[/tex], [tex]3[/tex], [tex]7[/tex] e [tex]9[/tex].
Mais do que isso, perceba que:
- Toda potência de base [tex]3[/tex] cujo expoente deixa resto [tex]0[/tex] na divisão por [tex]4[/tex] terá o [tex]1[/tex] como algarismo das unidades;
- Toda potência de base [tex]3[/tex] cujo expoente deixa resto [tex]1[/tex] na divisão por [tex]4[/tex] terá o [tex]3[/tex] como algarismo das unidades;
- Toda potência de base [tex]3[/tex] cujo expoente deixa resto [tex]2[/tex] na divisão por [tex]4[/tex] terá o [tex]9[/tex] como algarismo das unidades;
- Toda potência de base [tex]3[/tex] cujo expoente deixa resto [tex]3[/tex] na divisão por [tex]4[/tex] terá o [tex]7[/tex] como algarismo das unidades.
Como [tex]27[/tex] deixa resto [tex]3[/tex] quando dividido por [tex]4[/tex], segue que [tex]3^{3^{3}}=3^{27}[/tex] terá o [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$7$}[/tex] como algarismo das unidades.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Participou da discussão o Clube Aqui medes.