.Problema: Duas desigualdades

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


De quantas maneiras distintas podemos colocar, em cada espaço do esquema abaixo, os algarismos [tex]2[/tex], [tex]3[/tex], [tex]4[/tex], [tex]7[/tex], [tex]8[/tex] e [tex]9[/tex], de modo que todos os seis algarismos apareçam e formem três números de dois algarismos que satisfaçam as duas desigualdades indicadas?

[tex]\underline{\qquad }[/tex] [tex]\underline{\qquad }[/tex] [tex] \, \, \textcolor{red}{\lt} \, \, [/tex] [tex]\underline{\qquad }[/tex] [tex]\underline{\qquad }[/tex] [tex] \, \, \textcolor{red}{\lt} \, \, [/tex] [tex]\underline{\qquad }[/tex] [tex]\underline{\qquad }[/tex]

Solução


Para resolver o problema, vamos tomar cinco decisões:

  • a primeira na escolha dos algarismos das dezenas,
  • a segunda organizando estas dezenas
  • e as últimas três escolhendo cada algarismo das unidades.

Note que podemos escolher quaisquer três algarismos para serem as dezenas e, uma vez escolhidos, temos necessariamente que colocar o menor no membro à esquerda, o do meio no membro central e o maior no membro da direita. Assim, se escolhermos os algarismos [tex]a\lt b\lt c[/tex], teremos que colocá-los da seguinte forma:

[tex]a[/tex] [tex]\underline{}[/tex] [tex]\textcolor{red}{\lt}[/tex] [tex]b[/tex] [tex]\underline{}[/tex] [tex]\textcolor{red}{\lt}[/tex] [tex]c[/tex] [tex]\underline{}[/tex]

Dessa forma, podemos escolher os algarismos para as dezenas de [tex]C_6^3=\textcolor{red}{20}[/tex] (combinação simples) maneiras e haverá uma maneira de organizarmos nossa escolha: [tex]a\lt b\lt c[/tex].

Agora, uma vez organizados os algarismos das dezenas em ordem crescente, podemos preencher as unidades com os outros três algarismos da forma que quisermos: como não há dezenas iguais, as unidades não vão mudar as desigualdades. Logo, temos três opções para a primeira unidade, duas para a segunda e uma para a última.

Pelo princípio multiplicativo, são [tex] \, \boxed{\textcolor{red}{20}\times \textcolor{blue}{1} \times \textcolor{#FF00FF}{3} \times \textcolor{#D2691E}{2} \times \textcolor{#00CED1}{1}} \, [/tex] maneiras de preencher o esquema, ou seja, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$120$} \, [/tex] maneiras no total.


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

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