Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Há [tex]10[/tex] pessoas em um banco e apenas [tex]3[/tex] caixas eletrônicos.
De quantas maneiras essas pessoas podem formar filas diante dessas [tex]3[/tex] máquinas? (Admita a possibilidade de haver filas vazias.)
Solução 1
É possível representar cada possibilidade como um anagrama com [tex]12[/tex] símbolos, sendo dez letras diferentes representando as pessoas e dois símbolos iguais (barras, por exemplo) atuando como “separadores” para determinar as três filas.
Por exemplo, o anagrama [tex]\boxed{CFJB\mid DIG \mid AHE}[/tex] significa que:
- no primeiro caixa eletrônico forma-se a fila com as pessoas [tex]C \, , \, F \, , \, J \, , \, B \, [/tex];
- no segundo, a fila [tex]D \, , \, I \, , \, G \, [/tex];
- e, no terceiro, a fila [tex]A \, , \, H \, , \, E \, [/tex];
nestas ordens.
Assim, utilizando permutação com elementos repetidos, a resposta é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{12!}{2!}=239\,500\,800$} \, [/tex] maneiras distintas de se formar filas diante dos três caixas eletrônicos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Ajuda para a segunda solução
Princípio Fundamental da Contagem: Se
- uma escolha E1 puder ser feita de [tex] m_1 [/tex] maneiras,
- uma escolha E2 puder ser feita de [tex] m_2 [/tex] maneiras,
- uma escolha E3 puder ser feita de [tex] m_3 [/tex] maneiras,
- uma escolha E12 puder ser feita de [tex] m_{12} [/tex] maneiras,
[tex]\cdots[/tex]
e a ocorrência de uma escolha não muda a quantidade de possibilidades para a ocorrência de outra, então a quantidade de maneiras em que as [tex]12[/tex] escolhas podem ser feitas sucessivamente é dada pelo produto:
[tex]\qquad \qquad \boxed{m_1\times m_2 \times m_3\times \cdots \times m_{12}} \, .[/tex]
(Se você não se lembra desse Princípio, clique AQUI.)
Solução 2
Se você não aprendeu ainda o que é uma permutação com elementos repetidos, você pode resolver o problema utilizando apenas o Princípio Fundamental da Contagem e um pouco de bom senso!
Imagine que as pessoas estão todas em uma fila e que existam dois objetos (iguais) que separam as pessoas em três grupos (cada grupo vai para um caixa eletrônico).
Por exemplo, se indicarmos as dez pessoas por [tex] P_1 \, , \, P_2 \, , \, P_3 \, , \, P_4 \, , \, P_5 \, , \, P_6 \, , \, P_7 \, , \, P_8 \, , \, P_9 \, , \, P_{10} \, [/tex] e os objetos separadores por duas barras coloridas [tex]\textcolor{red}{|}[/tex] e [tex]\textcolor{blue}{|}[/tex], uma configuração do tipo
- [tex]\boxed{P_1 \, \, P_2 \, \, \textcolor{blue}{|} \, \, P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, \textcolor{red}{|} \, \, P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex],
indica que as duas primeiras pessoas vão para o primeiro caixa eletrônico, as três seguintes vão para o segundo caixa eletrônico e, por fim, as cinco últimas vão para o terceiro caixa eletrônico.
Temos, então doze objetos (dez pessoas e dois separadores) para colocar em fila e, pelo Princípio Fundamental da Contagem, isso pode ser feito de
- [tex]12\times 11 \times10 \cdots \times 2 \times 1=12![/tex] maneiras.
Vejam o esqueminha dessa contagem:
[tex]\begin{array}{c c c c c c}
\underline{\text{ 12 escolhas }}&\underline{\text{ 11 escolhas }}&\underline{\text{ 10 escolhas }}&\cdots &\underline{\text{ 2 escolhas }}&\underline{\text{ 1 escolha }}\\
1^a \text{ posição}&2^a \text{ posição}&3^a \text{ posição}&\cdots & 11^a \text{ posição}&12^a \text{ posição}
\end{array}[/tex]
Mas observe que, se em cada uma dessas configurações trocarmos de posição as duas barras entre si, os três grupos de pessoas que irão para os caixas eletrônicos serão os mesmos nas duas configurações, pois os três pedaços dos dois anagramas serão os mesmos, já que modificamos a posição apenas dos separadores.
Por exemplo
- as configurações [tex]\boxed{P_1 \, \, P_2 \, \, \textcolor{blue}{|} \, \, P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, \textcolor{red}{|} \, \, P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex] e [tex]\boxed{P_1 \, \, P_2 \, \, \textcolor{red}{|} \, \, P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, \textcolor{blue}{|} \, \, P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex]
definem as mesmas três filas: [tex]\boxed{P_1 \, \, P_2} \, \, \boxed{P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, } \, \, \boxed{P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex], - as configurações [tex]\boxed{\textcolor{blue}{|}P_1 \, \, P_2 \, \, P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, \textcolor{red}{|} \, \, P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex] e [tex]\boxed{\textcolor{red}{|}P_1 \, \, P_2 \, \, P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, \textcolor{blue}{|} \, \, P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex]
definem as mesmas três filas: [tex]\boxed{{ \, ^{ \, ^ \, \, }}_ \, } \, \, \boxed{P_1 \, \, P_2 \, \, P_3 \, \, P_4 \, \, P_5 \, \, P_6 \, \, P_7 \, \, P_8 \, \, } \, \, \boxed{P_9 \, \, P_{10}} \, [/tex] (Note que a primeira fila é vazia.)
Dessa forma, contamos um mesmo grupo de três filas duas vezes e, portanto, devemos dividir o resultado da nossa contagem por [tex]2[/tex] para que tenhamos maneiras diferentes de formarmos as três filas.
Assim, são [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{12!}{2}=239\,500\,800$}[/tex] as maneiras distintas de formarmos filas com as dez pessoas, diante dos três caixas eletrônicos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.