Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Quantos dígitos possui o número [tex]123456789^{2}[/tex] ?
Solução
Uma forma de resolver esta questão seria calcular este número e contar seus dígitos, mas isto será muito trabalhoso para números muito maiores que [tex]123456789[/tex].
Vamos, então, por outro caminho.
- Observe que se um número [tex]a[/tex] tiver apenas um dígito ele verifica [tex]10^0\leq a \lt 10^1[/tex]; se tiver dois dígitos, então [tex]10^1\leq a \lt 10^2[/tex] e assim sucessivamente.
Como o número [tex]123456789[/tex] possui nove dígitos então [tex]10^8\leq 123456789 \lt 10^9[/tex].
De [tex]10^8\leq 123456789 \lt 10^9[/tex], segue que [tex]10^{16}\leq 123456789^{2} \lt 10^{18}[/tex] e esta última desigualdade mostra que:
[tex] \hspace{3cm} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$\text{o número } 123456789^{2}\, \text{possui 17 ou 18 dígitos}$}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
- Mas, por outro lado, [tex]123456789\lt 130000000=13 \times 10^7[/tex] e, com isso,
[tex] \, \hspace{3cm} \fcolorbox{black}{#e8e8e8}{$123456789^2\lt 13^2 \times 10^{14}=16900000000000000$}\,.\qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
Portanto, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] e [tex]\textcolor{#800000}{(ii)} \, [/tex], o número [tex]123456789^{2}[/tex] possui [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$17$}[/tex] dígitos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.