.Problemão: EAN-13

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

A cada produto disponível para venda nos supermercados brasileiros está associado um número único de treze dígitos, que geralmente encontra-se abaixo de uma sequência de barras verticais impressas no produto. A sequência de barras é a representação gráfica do número associado ao produto.

Esse número de treze algarismos associado a um produto é tal que "a soma dos dígitos das suas posições ímpares com os triplos dos dígitos das suas posições pares seja divisível por dez".
Assim, se o número associado a um produto que retiramos da prateleira de um supermercado for

$\boxed{a_1\,a_2\,a_3\,a_4\,a_5\,a_6\,a_7\,a_8\,a_9\,a_{10}\,a_{11}\,a_{12}\,a_{13}}$

a soma

$a_1+3a_2+a_3+3a_4+a_5+3a_6+a_7+3a_8+a_9+3a_{10}+a_{11}+3a_{12}+a_{13}$

é divisível por $10.$

O sistema de associação de um produto a um código único de treze dígitos aqui descrito é conhecido como EAN-13 (sigla de European Article Number) e serve para evitar fraudes ou erros de digitação. Um código que não satisfaça a condição de "a soma dos dígitos das suas posições ímpares com os triplos dos dígitos das suas posições pares ser divisível por dez" é dito um código não válido no sistema EAN-13.
Como esse sistema é pura Matemática, justifique a seguinte afirmação:

• Se um dos treze dígitos do número associado a um item comercial for substituído por outro dígito, então o novo número não será válido.

Solução

Seja $a_1a_2\dots a_{12}a_{13}$ o número de treze dígitos associado a um determinado item comercial. Como este é um número válido no sistema EAN-13, então a soma
$\qquad \boxed{a_1+3a_2+a_3+3a_4+a_5+3a_6+a_7+3a_8+a_9+3a_{10}+a_{11}+3a_{12}+a_{13}}$
é divisível por $10$.
Suponhamos que o dígito $a_i$ da posição $i$ seja substituído por um dígito $b_i$. Temos, então, dois casos a considerar:

• A posição $i$ é ímpar.
  Observe que o novo código $a_1a_2\dots b_i\dots a_{12}a_{13}$ será válido se o número
  $\qquad \boxed{a_1+3a_2+\dots+b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13}}$
  for divisível por $10 \, .$
  Como a diferença entre inteiros divisíveis por $10$ é um número também divisível por $10$, temos que
  $\qquad (a_1+3a_2+\dots+b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})\\ \qquad -(a_1+3a_2+\dots+a_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})=(b_i-a_i)$
  será divisível por $10 \, .$
  Sendo o número $b_i-a_i$ divisível por $10$, como $a_i$ e $b_i$ são dígitos, isto ocorrerá apenas quando $a_i=b_i$.
• A posição $i$ é par.
  De forma semelhante ao caso anterior, o novo código $a_1a_2\dots b_i\dots a_{12}a_{13}$ será válido quando o número
  $\qquad \boxed{a_1+3a_2+\dots+3b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13}}$
  for divisível por $10$.
  Desta maneira, a diferença entre os números divisíveis por $10$
  $\qquad (a_1+3a_2+\dots+3b_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})\\ \qquad -(a_1+3a_2+\dots+3a_i+\dots +3 a_{12}+a_{13})=3(b_i-a_i)$
  também será divisível por $10$.
  Como o número $3(b_i-a_i)$ é divisível por $10$ e o máximo divisor comum de $3$ e $10$ é $1$, então o número $b_i-a_i$ é necessariamente divisível por $10 \, .$ Mas $a_i$ e $b_i$ são dígitos, então o número $3(b_i-a_i)$ será divisível por $10$ apenas quando $a_i=b_i$.

Assim, a substituição do dígito $a_i$ pelo dígito $b_i$ produzirá um código ainda válido apenas se $a_i=b_i$ e, portanto, a substituição de um dígito $a_i$ por um dígito diferente $b_i$ não gera um código válido.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.