Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
[tex]x^n+y^n=z^n, \ \ \ n>2,[/tex]
não admite soluções inteiras positivas.
Usando o Último Teorema de Fermat, mostre que não existe nenhum terno pitagórico formado por três números quadrados perfeitos.
Solução
Suponhamos que exista um terno pitagórico [tex](A,B,C)[/tex] formado por três quadrados perfeitos, então devem existir três números naturais positivos [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex] tais que [tex]A=a^2[/tex], [tex]B=b^2[/tex] e [tex]C=c^2[/tex].
Como [tex](A,B,C)[/tex] é um terno pitagórico segue que
[tex]\qquad A^2+B^2=C^2[/tex]
ou, ainda,
[tex]\qquad a^4+b^4=c^4 \, .[/tex]
Mas com isso os números naturais [tex]a, b[/tex] e [tex]c[/tex] seriam soluções inteiras da equação
[tex]x^n+y^n=z^n \, [/tex], com [tex]n=4[/tex],
o que é impossível pelo Teorema de Fermat.
Portanto, não existem ternos pitagóricos formados por três quadrados perfeitos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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Para conhecer um pouco mais sobre Fermat e seu Último Teorema, visite esta sala.
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