.Problema: O Último Teorema de Fermat

Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)

Usando o Último Teorema de Fermat, mostre que não existe nenhum terno pitagórico formado por três números quadrados perfeitos.

Solução

Suponhamos que exista um terno pitagórico $(A,B,C)$ formado por três quadrados perfeitos, então devem existir três números naturais positivos $a, b$ e $c$ tais que $A=a^2$, $B=b^2$ e $C=c^2$.
Como $(A,B,C)$ é um terno pitagórico segue que
$\qquad A^2+B^2=C^2$
ou, ainda,
$\qquad a^4+b^4=c^4 \, .$
Mas com isso os números naturais $a, b$ e $c$ seriam soluções inteiras da equação

$x^n+y^n=z^n \,$, com $n=4$,

o que é impossível pelo Teorema de Fermat.
Portanto, não existem ternos pitagóricos formados por três quadrados perfeitos.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.