.Problemão: Force out

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

Force out é um jogo para duas pessoas. Joga-se assim:

• É dado um número natural e os jogadores subtraem dele, alternadamente, um número natural de um único algarismo diferente de zero.
  Perde a partida o jogador forçado a obter um zero.

Desenvolva uma estratégia para o jogador que inicia ganhar, quando o número dado for $43$.

Solução

O primeiro a jogar ganhará o jogo se chegar ao número $1$ primeiro, pois o adversário será forçado a retirar $1$ e obter um zero.

• Para ter certeza de que chegará ao $1$, o jogador não deve deixar que a vez do adversário ocorra com um número entre $2$ e $10$, inclusive o $2$ e o $10 \, .$ (Observe que $2-\textcolor{red}{1}=\boxed{1} \, ; \, 3-\textcolor{red}{2}=\boxed{1} \, ; \, 4-\textcolor{red}{3}=\boxed{1} \, ; \, \cdots \, ; \, 10-\textcolor{red}{9}=\boxed{1} \, .$)
  Assim, o jogador deve chegar ao $11$ primeiro que o adversário.
• Sempre trabalhando no sentido inverso, é possível notar que o primeiro jogador deve obter números cujo algarismo das unidades seja $1$.

Agora, dado qualquer número natural que não termina em $1$ (que é justamente o caso do número $43$), é evidente que subtraindo um dos números de $1$ a $9$ sempre é possível para o primeiro a jogar obter um resultado terminando em $1$. Na próxima jogada, o adversário teria que subtrair no mínimo $10$ para obter um número terminado em $1$, mas essa operação não é permitida. Logo, a próxima jogada do primeiro jogador será com um número não terminado em $1$. Repetindo o mesmo argumento várias vezes, o jogador que inicia chegará ao número $1$ e ganhará o jogo.
Observe que, caso o número inicial termine em $1$, o segundo a jogar poderá realizar a estratégia descrita e ganhará.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.