Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Force out é um jogo para duas pessoas. Joga-se assim:
- É dado um número natural e os jogadores subtraem dele, alternadamente, um número natural de um único algarismo diferente de zero.
Perde a partida o jogador forçado a obter um zero.
Desenvolva uma estratégia para o jogador que inicia ganhar, quando o número dado for [tex]43[/tex].
Solução
O primeiro a jogar ganhará o jogo se chegar ao número [tex]1[/tex] primeiro, pois o adversário será forçado a retirar [tex]1[/tex] e obter um zero.
- Para ter certeza de que chegará ao [tex]1[/tex], o jogador não deve deixar que a vez do adversário ocorra com um número entre [tex]2[/tex] e [tex]10[/tex], inclusive o [tex]2[/tex] e o [tex]10 \, .[/tex] (Observe que [tex]2-\textcolor{red}{1}=\boxed{1} \, ; \, 3-\textcolor{red}{2}=\boxed{1} \, ; \, 4-\textcolor{red}{3}=\boxed{1} \, ; \, \cdots \, ; \, 10-\textcolor{red}{9}=\boxed{1} \, .[/tex])
Assim, o jogador deve chegar ao [tex]11[/tex] primeiro que o adversário. - Sempre trabalhando no sentido inverso, é possível notar que o primeiro jogador deve obter números cujo algarismo das unidades seja [tex]1[/tex].
Agora, dado qualquer número natural que não termina em [tex]1[/tex] (que é justamente o caso do número [tex]43[/tex]), é evidente que subtraindo um dos números de [tex]1[/tex] a [tex]9[/tex] sempre é possível para o primeiro a jogar obter um resultado terminando em [tex]1[/tex]. Na próxima jogada, o adversário teria que subtrair no mínimo [tex]10[/tex] para obter um número terminado em [tex]1[/tex], mas essa operação não é permitida. Logo, a próxima jogada do primeiro jogador será com um número não terminado em [tex]1[/tex]. Repetindo o mesmo argumento várias vezes, o jogador que inicia chegará ao número [tex]1[/tex] e ganhará o jogo.
Observe que, caso o número inicial termine em [tex]1[/tex], o segundo a jogar poderá realizar a estratégia descrita e ganhará.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.