.Problemão: Cartas no baralho

Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)


(FUVEST) De um baralho de [tex]28[/tex] cartas, sete de cada naipe, Luís recebe cinco cartas:

  • duas de ouros, uma de espadas, uma de copas e uma de paus.

Ele mantém consigo as duas cartas de ouros e troca as demais por três cartas escolhidas ao acaso dentre as [tex]23[/tex] cartas que tinham ficado no baralho.
Qual a probabilidade de Luís, ao final, conseguir cinco cartas de ouros?

Solução


Como Luís possui cinco cartas, sendo duas de ouros e uma de cada naipe restante, sobram [tex]23[/tex] cartas no baralho. Repare que, dentre essas [tex]23[/tex] cartas, temos as seguintes quantidades:

  • Ouros: [tex]7-2=5[/tex];
  • Copas: [tex]7-1=6[/tex];
  • Espadas: [tex]7-1=6[/tex];
  • Paus: [tex]7-1=6[/tex].

Note que para que Luís consiga as cinco cartas de ouros, basta que ele retire três cartas de ouros das cinco que ainda estão no baralho. Vejamos como:

  • Para tirar uma carta de ouros na primeira retirada, Luís dispõe de [tex]5[/tex] cartas de ouros de um total de [tex]23[/tex] cartas.
    Assim, a probabilidade que ele retire uma carta de ouros é [tex]\boxed{\textcolor{red}{\dfrac{5}{23}}} \, .[/tex]
  • Para a segunda retirada, existem [tex]4[/tex] cartas de ouros, perceba que uma já foi retirada antes, e, portanto, [tex]22[/tex] cartas no total.
    Logo, a probabilidade de que Luís retire uma segunda carta de ouros é [tex]\boxed{\textcolor{blue}{\dfrac{4}{22}}} \, .[/tex]
  • Para a última retirada, Luís terá [tex]3[/tex] cartas de ouros, de um total de [tex]21[/tex] cartas.
    Com isso, a probabilidade de se retirar mais uma carta de ouros é [tex]\boxed{\textcolor{#FF00FF}{\dfrac{3}{21}}} \, .[/tex]

Portanto, a probabilidade de que Luís consiga as cinco cartas de ouros é dada por:
[tex]\qquad \qquad P=\textcolor{red}{\dfrac{5}{23}}\times \textcolor{blue}{\dfrac{4}{22}} \times \textcolor{#FF00FF}{\dfrac{3}{21}}= \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$\dfrac{10}{1771}$} \, ,[/tex]

ou seja, aproximadamente [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0,56\%$} \, .[/tex]


Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.

Participou da discussão o Clube OCTETO MATEMÁTICO.

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