.Probleminha: Quadro Negro

Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)

Pedrinho encontrou um quadro negro com

$10$ números naturais de dois dígitos escritos.
Por curiosidade, ele dividiu cada um dos números por

$6$ . Destas divisões, três deixaram resto

$0$ , duas deixaram resto

$1$ , uma deixou resto

$2$ , uma deixou resto

$3$ , duas deixaram resto

$4$ e uma deixou resto

$5$ .
Qual é a maior quantidade possível de números primos presentes no quadro encontrado por Pedrinho?

Solução

Observe que, dos $10$ números inicialmente presentes no quadro negro, três eram múltiplos de $6$ e, portanto, esses três números eram compostos.
Seja $n$ o número que deixou resto $2$ quando dividido por $6$ ; assim, $n=6k+2$ , com $k\in \mathbb{N}$ .
Sendo $k$ um número natural, $n$ é um número par. Do fato de ter dois dígitos, segue que $n$ é um número par maior do que $2$ e, portanto, um número composto.
Seja $m$ o número que deixou resto $3$ quando dividido por $6$ ; então, $m=6q+3$ , com $q\in \mathbb{N}$ .
Como $q$ é um número natural, segue que $m$ é um número múltiplo de $3$ . Do fato de ter dois dígitos, segue que $m$ é um número múltiplo de $3$ maior do que $3$ e, também, um número composto.
Da mesma forma podemos concluir que os dois números que deixaram resto $4$ quando divididos por $6$ são pares maiores do que $2$ e, consequentemente, esses dois números também são compostos.

Assim, sete dos dez números são compostos.

é possível obter dois números primos de dois dígitos que deixam resto $1$ , quando divididos por $6$ ; por exemplo, os números primos $13$ e $19$ ,
e é possível obter um número primo que, quando dividido por $6$ , deixa resto $5$ : $17 \, .$

Assim, existia no máximo três números primos no quadro negro encontrado por Pedrinho.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.