Problema
Para atualizar (corrigir) valores monetários ao longo do tempo, pode-se utilizar o regime de capitalização de juros compostos. É válida a seguinte relação matemática:
[tex]\qquad \qquad \boxed{M=C\cdot (1+i)^n},[/tex]
em que [tex]M[/tex] é o montante; [tex]C[/tex] é o capital; [tex]i[/tex] é a taxa de juros e [tex]n[/tex] é o número de períodos de capitalização.
Por exemplo, aplicando-se o capital de [tex]R\$\ 100,00[/tex] à taxa de [tex]5\%[/tex] ao mês, por um mês, obtém-se o montante de [tex]R\$\ 105,00.[/tex]
A tabela abaixo contém valores para o termo [tex](1+i)^n[/tex] para [tex]i[/tex] e [tex]n[/tex] selecionados.
João aplicou [tex]R\$\ 1\ 000,00[/tex] em um Fundo de Aplicações e, no mesmo mês, fez uma dívida de [tex]R\$\ 1\ 000,00[/tex] em seu cartão de crédito.
Supondo que na atualização dos valores sejam utilizados juros compostos, utilize as informações do enunciado para responder às seguintes questões:
(a) Se o dinheiro que João aplicou no Fundo de Aplicações rende a uma taxa de [tex]1\%[/tex] ao mês, qual o valor que o João teria após dez anos de aplicação?
(b) Se a taxa do cartão de crédito do João é de [tex]5\%[/tex] ao mês, qual seria a dívida de João após dez anos?
(c) A diferença de valores obtidos nos itens (a) e (b) é equivalente ao rendimento de mil reais à uma taxa de juros de [tex]5\%-1\%=4\%[/tex] durante dez anos?
Solução
(a) Seja [tex]M[/tex] o montante que João receberia pela sua aplicação. Assim:
[tex]\qquad M=1\ 000\cdot (1+0,01)^{120}=1000\times 3,3004=3\ 300,40[/tex].
Portanto, após dez anos, João teria em seu Fundo de Aplicações [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\ 3.300,40$} \, .[/tex]
b) Se [tex]M[/tex] denotar agora a dívida de João após dez anos, então:
[tex]\qquad M=1\ 000\cdot (1+0,05)^{120}=1000\times 348,9120=348\ 912,00[/tex].
Logo, a dívida do João seria de [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$R\$\ 348.912,00$} \, .[/tex]
c) A diferença dos valores calculados em (a) e (b) é [tex]\boxed{R\$\ 345.611,60} \, .[/tex]
Por outro lado, mil reais a uma taxa de juros de [tex]4\%[/tex] ao mês rende, ao final de dez anos:
[tex]\qquad M=1\ 000\times (1+0,04)^{120}=1\ 000\times110,6626=\boxed{R\$\,110.662,60} \, .[/tex]
Portanto, os valores são distintos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.