Problema
(Indicado a partir do 2º ano do E. M.)
Um prisioneiro recebe 50 bolas brancas e 50 bolas pretas.
O prisioneiro deve distribuir essas bolas em duas urnas, do modo que preferir, mas de modo que nenhuma das duas urnas fique vazia. As urnas serão embaralhadas e o prisioneiro deverá, de olhos fechados, escolher uma urna e, nesta urna, uma bola.
Se a bola for branca, ele será libertado; caso contrário, ele será condenado.
De que modo o prisioneiro deve distribuir as bolas nas urnas para que a probabilidade de ser liberado seja máxima?
Solução
Suponha que a primeira urna receba [tex]\boxed{\textcolor{blue}{k}}[/tex] bolas, das quais [tex]\boxed{\textcolor{blue}{a}}[/tex] são brancas. Assim, a segunda urna fica com [tex]\boxed{\textcolor{red}{100-k}}[/tex], das quais [tex]\boxed{\textcolor{red}{50-a}}[/tex] são brancas.
Então a probabilidade [tex]P[/tex] de o prisioneiro ser libertado é:
[tex]\underbrace{\dfrac{1}{2}\cdot\textcolor{blue}{\dfrac{a}{k}}}_{\substack{\text{caso ele escolha}\\ \text{a primeira urna}}}+\underbrace{\dfrac{1}{2}\cdot\textcolor{red}{\dfrac{50-a}{100-k}}}_{\substack{\text{caso ele escolha}\\ \text{a segunda urna}}}[/tex],
ou seja,
[tex]P=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{a}{k}+\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{50-a}{100-k}=\dfrac{1}{2}\cdot\left(\dfrac{a}{k}+\dfrac{50-a}{100-k}\right)=\boxed{\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{50k+a(100-2k)}{k(100-k)}}[/tex].
- Observe que para [tex]k=50[/tex] temos que
[tex] \, \, \\
P= \dfrac{1} {2} \cdot \dfrac {50\cdot 50 + a(100-2\cdot 50)}{50\cdot (100-50)}= \dfrac{1} {2} \cdot\dfrac{50\cdot 50-a\cdot 0}{50\cdot 50}=\dfrac{1}{2}\cdot 1=\dfrac {1}{2}[/tex],independentemente do valor de [tex]a[/tex].
Vamos estudar os casos em que [tex]k \lt 50[/tex] (a primeira urna recebeu menos bolas). O outro caso (a segunda urna com menos bolas) será inteiramente análogo.
- Observe que, com [tex]k \lt 50[/tex], se fixarmos o valor de [tex]k[/tex], ao aumentarmos o valor de [tex]a[/tex], o numerador da fração [tex]\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{50k+a(100-2k)}{k(100-k)}[/tex] aumenta em [tex]100-2k[/tex] unidades, já que [tex]100-2k\gt0[/tex].
Assim, quanto maior for o valor de [tex]a[/tex], maior será a probabilidade de o prisioneiro ser libertado. Logo, para a probabilidade de liberdade ser máxima, devemos ter [tex]a=k[/tex] (isto significa que todas as bolas da primeira urna são brancas). Neste caso, a probabilidade será:
[tex] \, \, \\
\qquad \begin{align*} P &=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{50k+a(100-2k)}{k(100-k)}\\
&=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{50k+k(100-2k)}{k(100-k)}\\
&=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{150k-2k^2}{k(100-k)}\\
&=\dfrac{75-k}{100-k}\\
&=1-\dfrac{25}{100-k}.
\end{align*}\\
\, \, \\[/tex]
Perceba que esse valor será máximo quando [tex]k[/tex] for mínimo. Portanto, como não podemos ter urnas vazias, [tex]k[/tex] mínimo é [tex]k=1[/tex], e a probabilidade máxima é [tex]\boxed{P=1-\dfrac{25}{100-1}=\dfrac{74}{99}} \, .[/tex]
Assim, concluímos que, para maximizar a probabilidade de ser liberado, o prisioneiro deve distribuir as bolas colocando apenas uma bola branca em uma das urnas e todas as demais bolas ([tex]49[/tex] brancas e [tex]50[/tex] pretas) na segunda urna. Neste caso, a probabilidade de o prisioneiro ser libertado é [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$75\%$} \, .[/tex]
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