Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Um campeonato de futebol será disputado por cinco equipes [tex]A, B, C, D[/tex] e [tex]E[/tex] com as seguintes regras de pontuação:
- uma vitória vale [tex]3[/tex] pontos,
- um empate vale [tex]1[/tex] ponto,
- derrotas não contabilizam pontos.
Sabendo-se que cada equipe jogará com as demais exatamente uma vez, responda:
(a) Se não houver empates, qual será a soma das pontuações obtidas por cada uma das cinco equipes ao final da competição? E se houver exatamente cinco empates?
(b) Se as pontuações obtidas por cada uma das cinco equipes ao final da competição somarem [tex]26[/tex] pontos, quantos empates terão ocorrido durante o campeonato?
Solução
Primeiramente, observemos que durante todo o campeonato serão realizados [tex]10[/tex] jogos:
[tex]A\times B \, \, , \, \, A\times C \, \, , \, \, A\times D \, \, , \, \, A\times E \, \, , \, \, B\times C \\
B\times D \, \, , \, \, B\times E \, \, , \, \, C\times D \, \, , \, \, C\times E \, \, , \, \, D\times E[/tex].
Um jogo com um vencedor acrescenta [tex]3[/tex] pontos na soma da pontuação geral (os três pontos do vitorioso) e um jogo com um empate acrescenta [tex]2[/tex] pontos na pontuação geral (um ponto para cada equipe envolvida neste empate). Assim, se denotarmos por [tex]e[/tex] o número de empates e por [tex]v[/tex] o número de vitórias, podemos obter uma fórmula para a soma [tex]S[/tex] de todas as pontuações obtidas por cada uma das cinco equipes ao final da competição:
[tex]\qquad S=2e+3v.[/tex]
Observe que [tex]v+e=10[/tex]; assim, [tex]\boxed{v=10-e} \, [/tex] e, portanto:
[tex]\qquad S=2e+3(10-e).\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
(a) No caso de não haver empates, então [tex]e=0[/tex] e, assim, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=3\times10=30$} \, .[/tex]
Quando houver [tex]5[/tex] empates, [tex]e=5[/tex]; portanto, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex] que:
[tex]\qquad \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$S=2\times 5+3\times 5=25$} \, .[/tex]
(b) Neste caso temos [tex]S=26[/tex] e queremos calcular [tex]e \, .[/tex] Logo, por [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex]:
[tex]\qquad 26=2e+3(10-e)=30-e \, [/tex],
ou seja, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$e=4$} \, .[/tex]
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