Problema
(A partir do 8º ano do E. F. – Nível de dificuldade: Médio)
A barraquinha da Tia Maria – especializada em iguarias como amendoins, pistaches, nozes, castanhas, avelãs, frutas secas, entre outras – vende o grama de amendoim torrado a R$ 0,07 e, o grama de castanhas de caju, a R$ 0,16.
No final do mês passado, Tia Maria observou que a castanha de caju não teve uma boa saída e decidiu misturar amendoins com castanhas de caju para produzir um mix de 45 gramas, que será vendido a R$ 0,10 o grama.
Quantos gramas de amendoim e de castanha de caju deverão ser misturados para se manter a mesma renda das vendas feitas separadamente?
Solução
Sejam [tex]a[/tex] e [tex]c[/tex] as respectivas quantidades em gramas de amendoim e castanha de caju que serão misturadas para produzir o mix de 45 gramas.
- Assim, em termos de peso, temos que:
[tex]\qquad a+c=45.\qquad \textcolor{#800000}{(i)}[/tex]
Os preços isolados de [tex]a[/tex] gramas de amendoim e de [tex]c[/tex] gramas de castanha de caju são, respectivamente, [tex]\boxed{0,07\times a}[/tex] reais e [tex]\boxed{0,16\times c}[/tex] reais . Dado que deve ser mantida a renda das vendas feitas separadamente e o preço por grama da mistura do mix de 45 gramas será de [tex]\boxed{0,10 }[/tex] reais, então:
[tex]\qquad 0,07\times a+0,16\times c=45 \times 0,10=4,5. \qquad \textcolor{#800000}{(ii)}[/tex]
- Vamos multiplicar ambos os membros da equação [tex]\textcolor{#800000}{(ii)}[/tex] por [tex]100[/tex] para facilitar as nossas contas. Assim, segue que:
[tex]\qquad 7\times a+16\times c=450.\qquad \textcolor{#800000}{(iii)}[/tex]
Da equação [tex]\textcolor{#800000}{(i)}[/tex], obtemos que [tex]\boxed{a=45-c}[/tex]; consequentemente, segue de [tex]\textcolor{#800000}{(iii)}[/tex] que:
[tex]\qquad 7\times \left( 45-c \right)+16\times c=450[/tex]
[tex]\qquad 315-7\times c+16\times c=450[/tex]
[tex]\qquad 315+9\times c=450[/tex]
[tex]\qquad 9\times c=450-315[/tex]
[tex]\qquad 9\times c=135[/tex]
[tex]\qquad c=\dfrac{135}{9}[/tex]
[tex]\qquad c=15\,[/tex] gramas.
Com isso, temos ainda:
[tex]\qquad a=45-c[/tex]
[tex]\qquad a=45-15[/tex]
[tex]\qquad a=30[/tex] gramas.
Portanto, Tia Maria deverá misturar [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$30\, g$}[/tex] de amendoim e [tex]\fcolorbox{black}{#eee0e5}{$15\,g$}[/tex] de castanha de caju para que possa obter com o mix a mesma renda que obteria com a venda isolada dos dois produtos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
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