.Probleminha: 2017 algarismos

Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)

O número natural $\boxed{N=201720172017…2017X}$ possui $2017$ algarismos e é um múltiplo de $9$.
Determine os possíveis valores do algarismo $X.$

Solução

Se o número $N$ possui $2017$ algarismos, sendo o último algarismo $X$, pode-se afirmar que a sequência de quatro algarismos $2017$ é repetida $2016\div 4=504$ vezes, pois há $2016$ algarismos além do $X$.
Vamos utilizar o critério de divisibilidade por $9$ enunciado no Lembrete; assim, temos que calcular a soma dos algarismos de $N.$

• Sendo $\boxed{2+0+1+7=10}$, então a soma $S$ dos algarismos do número $N$ é dada por $\boxed{S=10\times 504+X =5040+X} \, .$

Observe que $5040$ é múltiplo de $9$, pois $5+0+4+0=9$; como ao adicionar $X$ a $5040$ deve-se ainda ter um múltiplo de $9$, então o próprio algarismo $X$ deverá ser um múltiplo de $9$ e, para que isso ocorra, os possíveis valores para $X$ são $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$0$} \,$ ou $\, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$9$} \,$.

Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.