Problema
Utilizando uma balança de pratos, quantos pesos diferentes podem ser pesados com os pesinhos de 1 kg, 2 kg, 4 kg, 8 kg? (Há somente um pesinho de cada.)
Solução 1
(Indicada a partir do 6º ano do E. F.)
Podemos escrever todos os casos possíveis; observem:
- Para pesar 1 kg: basta utilizar o pesinho de 1 kg;
- Para pesar 2 kg: basta utilizar o pesinho de 2 kg;
- Para pesar 3 kg: basta utilizar os pesinhos de 1 kg e de 2 kg;
- Para pesar 4 kg: basta utilizar o pesinho de 4 kg;
- Para pesar 5 kg: basta utilizar os pesinhos de 1 kg e 4 kg;
- Para pesar 6 kg: basta utilizar os pesinhos de 2 kg e 4 kg;
- Para pesar 7 kg: basta utilizar os pesinhos de 1 kg, 2 kg e 4 kg;
- Para pesar 8 kg: basta utilizar o pesinho de 8 kg;
- Para pesar 9 kg: basta utilizar os pesinhos de 1 kg e 8 kg;
- Para pesar 10 kg: basta utilizar os pesinhos de 2 kg e 8 kg;
- Para pesar 11 kg: basta utilizar os pesinhos de 1 kg, 2 kg e 8 kg;
- Para pesar 12 kg: basta utilizar os pesinhos de 4 kg e 8 kg;
- Para pesar 13 kg: basta utilizar os pesinhos de 1 kg, 4 kg e 8 kg;
- Para pesar 14 kg: basta utilizar os pesinhos de 2 kg, 4 kg e 8 kg e
- Para pesar 15 kg: basta utilizar todos os pesinhos.
Resposta: 15 pesos diferentes.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Solução 2
(Indicada a partir do 2º ano do E. M.)
Perceba que somando alguns (ou todos os) valores [tex]1[/tex], [tex]2[/tex], [tex]4[/tex] e [tex]8[/tex] só temos uma possibilidade para o resultado final. Por exemplo, só há uma possibilidade de obtermos o valor [tex]6 \, [/tex], que é a soma dos pesinhos [tex]2[/tex] e [tex]4[/tex].
Portanto, em uma pesagem, cada peso disponível poderá ou não ser utilizado:
- podemos ou não utilizar o pesinho de [tex]1 \, kg \, [/tex];
- podemos ou não utilizar o pesinho de [tex]2 \, kg \, [/tex];
- podemos ou não utilizar o pesinho de [tex]4 \, kg \, [/tex];
- podemos ou não utilizar o pesinho de [tex]8 \, kg \, [/tex].
Dessa forma, pelo Princípio Fundamental da Contagem, teríamos
[tex]\qquad \qquad 2\times 2\times 2\times 2=16[/tex] possibilidades.
Porém, com esse cálculo, contamos o caso em que não utilizamos pesinhos.
Portanto, na realidade são [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$16-1=15$}[/tex] possibilidades de pesagem.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.