Problema
(Indicado a partir do 9º ano do E. F.)
Encontre todos os valores naturais para [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] de modo que [tex]\boxed{m^4+4n^4}[/tex] seja primo.
Solução
Vamos considerar quatro casos separadamente:
- [tex]m=n=0[/tex]
Com esta escolha de valores para [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex], o valor da expressão [tex]m^4+4n^4 \, [/tex] é [tex] \, 0[/tex], que não é um número primo. - [tex]m=0[/tex] e [tex]n\gt 0[/tex]
Quando [tex]m=0[/tex], temos [tex]m^4+4n^4=4n^4 \, [/tex] e [tex] \, 4n^4[/tex] é sempre divisível por [tex]4[/tex] para qualquer valor natural positivo de [tex]n[/tex].
Portanto, substituindo na expressão [tex]m^4+4n^4[/tex] escolhas para [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] verificando [tex]m=0[/tex] e [tex]n\gt 0[/tex], sempre obtemos números compostos. - [tex]m\gt 0[/tex] e [tex]n=0[/tex]
Quando [tex]n=0[/tex], a expressão [tex]m^4+4n^4[/tex] se torna [tex]m^4[/tex]. Perceba que o número [tex]m^4[/tex] é sempre divisível por [tex]m[/tex], para qualquer valor natural positivo de [tex]m[/tex].
Portanto, substituindo na expressão [tex]m^4+4n^4[/tex] escolhas para [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] que verifiquem [tex]m\gt 0[/tex] e [tex]n= 0[/tex], novamente obtemos apenas números que não são primos. - [tex]m\gt 0[/tex] e [tex]n\gt 0[/tex]
Primeiramente vamos fatorar a expressão algébrica [tex]m^4+4n^4[/tex].
Com a ajuda dos produtos notáveis “trinômio quadrado perfeito” e “diferença de quadrados” podemos escrever:
[tex]\qquad m^4+4n^4=m^4+4n^4+4m^2n^2-4m^2n^2=(m^2+2n^2)^2-4m^2n^2\\
\qquad \qquad \quad \quad =(m^2+2n^2-2mn)(m^2+2n^2+2mn).[/tex]
Observe que o fator [tex]m^2+2n^2+2mn \, [/tex] é sempre um número natural maior do que [tex]1[/tex], para quaisquer naturais não nulos [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex].
Recorrendo novamente ao produto notável “trinômio quadrado perfeito”, podemos verificar que o fator [tex]m^2+2n^2-2mn[/tex] pode ser escrito na forma [tex](m-n)^2+n^2[/tex] e, com exceção dos valores [tex]m=n=1[/tex], também é sempre um número natural maior do que [tex]1[/tex] para quaisquer naturais não nulos [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex].
Desta forma, para todas as escolhas de [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] diferentes de [tex]1[/tex] a expressão [tex]m^4+4n^4[/tex] tem como valor um número composto.
Pela análise dos quatro casos, concluímos que os únicos valores de [tex]m[/tex] e [tex]n[/tex] que tornam a expressão um número primo são [tex]m=1[/tex] e [tex]n=1[/tex].
Em particular, com a escolha [tex]m=1[/tex] e [tex]n=1[/tex] obtemos o número primo [tex]5[/tex].
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.