Problema
(Indicado a partir do 6º ano do E. F.)
Os inteiros de [tex]1[/tex] até [tex]22[/tex] são escritos em uma fila:
[tex]\qquad \qquad \quad \quad 1 \, \, 2 \, \, 3 \, \, 4 \, \, 5 \, \, 6 \, \, 7 \, \, 8 \, \, 9 \, \, 10 \, \, 11 \, \, 12 \, \, 13 \, \, 14 \, \, 15 \, \, 16 \, \, 17 \, \, 18 \, \, 19 \, \, 20 \, \, 21 \, \, 22 \, .[/tex]
Observe que podemos inserir sinais de [tex]+[/tex] ou [tex]-[/tex] antes de cada um dos números de forma a obter diversos resultados. Por exemplo:
[tex]\qquad 1-2+3-4-5-6-7-8-9+10+11+\\
\qquad \quad +12+13+14+15-16+17-18+19-20+21-22=19 \, .[/tex]
(a) Qual o valor da expressão quando colocarmos todos os sinais [tex]+[/tex] ?
(b) É possível inserir sinais de [tex]+[/tex] ou [tex]-[/tex] e obter o resultado [tex]173[/tex] ?
(c) É possível inserir sinais de [tex]+[/tex] ou [tex]-[/tex] e obter o resultado [tex]0[/tex] ?
Solução
(a) Para facilitar o cálculo, pode-se reorganizar os números como a seguir e depois efetuar a conta:
[tex]\qquad (1+22)+(2+21)+(3+20)+(4+19)+(5+18)+(6+17)+\\
\quad \quad +(7+16)+(8+15)+(9+14)+(10+13)+(11+12)= 11\times 23=253[/tex]
(b) Observe que a soma total vale [tex]253[/tex] e queremos obter o resultado [tex]173,[/tex] ou seja, [tex]80[/tex] a menos que a soma total. Para tal, basta invertemos na soma total o sinal de parcelas cuja soma seja [tex]\dfrac{80}{2}=40.[/tex]
Uma possível solução seria inverter os sinais dos números [tex]19[/tex] e [tex]21[/tex]:
[tex]\qquad 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+\\
\qquad \quad +12+13+14+15+16+17+18-19+20-21+22=173.[/tex]
(c) Quando na soma total invertemos o sinal de um dos números, o resultado difere de [tex]253[/tex] por um valor par. Logo, a paridade do resultado de cada nova soma não muda. Como a soma que estamos trabalhando é ímpar, ao substituirmos um sinal [tex]+[/tex] por [tex]-[/tex] sempre obteremos um número ímpar.
Dessa forma, nunca obteremos o zero.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.