Problema
(Indicado a partir do 7º ano do E. F.)
Encontre todos os primos naturais que são, ao mesmo tempo, uma soma e uma diferença de dois primos.
Ajuda
✐ Três primos consecutivos são chamados primos trigêmeos se o módulo da diferença entre dois primos consecutivos da terna é [tex]2 [/tex].
Sabe-se que a única terna de primos naturais trigêmeos é [tex](3,5,7) [/tex].
Para aprofundar a discussão sobre esse assunto, visite esta Sala mais tarde.
Solução
Seja [tex]p[/tex] um número natural primo tal que [tex]p=p_1+p_2 \, [/tex] e [tex] \, p=p_3-p_4[/tex], com [tex]p_1[/tex], [tex]p_2[/tex], [tex]p_3[/tex] e [tex]p_4[/tex] números naturais primos.
- Perceba, inicialmente, que [tex]p_3\gt p_4[/tex], pois [tex]p[/tex] é positivo.
- Como [tex]p[/tex] é a soma de dois primos temos que [tex]p \gt 2[/tex] e, também por ser primo e maior que [tex]2[/tex], [tex]p[/tex] é ímpar.
- Sabemos que para que a soma (ou diferença) de dois números naturais resulte em um número ímpar, devemos ter um par e o outro ímpar. Como [tex]2[/tex] é o único primo par, podemos supor, sem perda de generalidade, que [tex]p_1=2[/tex]. Analogamente para a subtração, teremos que, aqui necessariamente, [tex]p_4=2[/tex].
Assim,
- [tex]p=2+p_2[/tex], donde [tex] p_2=p-2[/tex],
e
- [tex]p=p_3-2[/tex], donde [tex] p_3=p+2[/tex].
Lembrando que [tex]p_2[/tex] e [tex]p_3[/tex] são primos, temos que a terna [tex](p-2, p, p+2)[/tex] é uma terna de primos na qual a diferença entre dois consecutivos é de duas unidades. A única terna de primos com essa característica é a terna de primos naturais trigêmeos:[tex](3,5,7) \, . [/tex]
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.