Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E. F.)
Prove que [tex](3,5,7)[/tex] é a única terna de primos naturais trigêmeos.
– Lembramos que três primos consecutivos são chamados primos trigêmeos se o módulo da diferença entre dois primos consecutivos da terna é [tex]2[/tex].
Solução
Todo número natural [tex]a[/tex] pode ser escrito de uma, e só uma, das seguintes formas: [tex]a=3k[/tex], [tex]a=3k+1[/tex] ou [tex]a=3k+2[/tex], sendo [tex]k[/tex] um número natural. Isso se deve aos possíveis restos deixados por [tex]a[/tex] na divisão por [tex]3[/tex].
Observe a terna [tex](a,a+2,a+4)[/tex], na qual [tex]a[/tex] é um número natural, e perceba que:
- se [tex]a=3k[/tex], então [tex]a[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex], mas [tex]a+2[/tex] e [tex]a+4[/tex] não são;
- se [tex]a=3k+1[/tex], então [tex]a+2[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex], mas [tex]a[/tex] e [tex]a+4[/tex] não são;
- se [tex]a=3k+2[/tex], então [tex]a+4[/tex] é múltiplo de [tex]3[/tex], mas [tex]a[/tex] e [tex]a+2[/tex] não são.
Assim, para qualquer número natural [tex]a[/tex], na terna [tex](a,a+2,a+4)[/tex] existe um, e só um, múltiplo de [tex]3[/tex].
Primos trigêmeos são da forma [tex]p,\, p+2,\, p+4[/tex]; como um deles é múltiplo de [tex]3[/tex] e todos são primos, esse múltiplo de [tex]3[/tex] deve ser o próprio [tex]3[/tex], isto é, teremos, obrigatoriamente, que [tex]p=3[/tex].
Portanto, [tex](3,5,7)[/tex] é de fato a única terna de primos naturais trigêmeos.
Solução elaborada pelos Moderadores do Blog.
Um vídeo para ajudar
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