Problema
(Indicado a partir do 8º ano do E.F.)
Cada uma das letras [tex]D[/tex], [tex]O[/tex], [tex]I[/tex], [tex]S[/tex], na multiplicação indicada abaixo, representa um algarismo diferente:
[tex]\begin{array}{cccccccc}
&&&&D&O&I&S\\
&&&\times&D&O&I&S\\
\hline
&&&\ast&\ast&\ast&\ast&D\\
&&\ast&\ast&\ast&\ast&O&\\
&\ast&\ast&\ast&\ast&I&&\\
\ast&\ast&\ast&\ast&S&&&\\
\hline
\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast&\ast\\
\end{array}[/tex]
Encontre a soma [tex]\boxed{D+O+I+S} \, .[/tex]
Solução
- Como [tex]S\times S=S^2[/tex] termina em [tex]D \, [/tex] e [tex] \, D \times S[/tex] termina em [tex]S[/tex], concluímos que [tex]S^3[/tex] termina em [tex]S[/tex].
Logo, [tex]S[/tex] pode ser [tex]0[/tex], [tex]1[/tex], [tex]4[/tex], [tex]5[/tex], [tex]6[/tex] ou [tex]9[/tex]. - Se [tex]S[/tex] fosse [tex]0[/tex], [tex]1[/tex], [tex]5[/tex] ou [tex]6[/tex] teríamos [tex]D=S[/tex].
Portanto, [tex]S=4[/tex] ou [tex]S=9[/tex]. - Se [tex]S=9[/tex], teríamos [tex]D=1[/tex], o que não pode acontecer, pois a última multiplicação apresenta cinco algarismos e não quatro.
Daí, concluímos que [tex]S=4 \, [/tex] e [tex] \, D=6.[/tex]
Agora, como [tex]I[/tex] x [tex]S[/tex] termina em [tex]O[/tex], concluímos que [tex]O[/tex] é par, pois [tex]S[/tex] é par. Da mesma maneira [tex]I[/tex] é par, pois [tex]O[/tex] x [tex]S[/tex] termina em [tex]I[/tex]. E nenhum deles ([tex]I[/tex] ou [tex]O[/tex]) pode ser zero, pois se um deles for o outro também será. Como as letras representam algarismos diferentes, [tex]S=4[/tex] e [tex]D=6[/tex], teremos duas opções: "[tex]O=2[/tex] e [tex]I=8[/tex]" ou "[tex]O=8[/tex] e [tex]I=2[/tex]".
Portanto, o número [tex]DOIS[/tex] pode ser [tex]6284[/tex] ou [tex]6824[/tex].
C O N F I R A , fazendo os cálculos!
Consequentemente, [tex] \, \fcolorbox{black}{#eee0e5}{$D+O+I+S=20$} \, . [/tex]
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